【題目】閱讀下列一段文字,然后回答下列問題.

已知在平面內(nèi)有兩點P1 x1,y1 P1 x2,y2 其兩點間的距離P1P2 = ,同時,當(dāng)兩點所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時,兩點間距離公式可化簡為|x2 x1||y2 y1|.

(1)已知 A (1,4)、B (-3,5),試求 A.、B兩點間的距離;

(2)已知 A、B在平行于 y軸的直線上,點 A的縱坐標(biāo)為-8,點 B的縱坐標(biāo)為-1,試求 A、B兩點的距 離;

(3)已知一個三角形各頂點坐標(biāo)為 D(1,6)E(-2,2)、F(42),你能判定此三角形的形狀嗎?說明理由:

(4)(3)的條件下,平面直角坐標(biāo)系中,在 x軸上找一點 P,使 PD+PF的長度最短,求出點 P的坐 標(biāo)以及 PD+PF的最短長度.

【答案】1AB=;(2AB=7;(3DEF為等腰三角形.理由見解析;(4PD+PF的長度最短時點P的坐標(biāo)為(0),此時PD+PF的最短長度為

【解析】

1)直接利用兩點間的距離公式計算;

2)根據(jù)平行于y軸的直線上所有點的橫坐標(biāo)相同,所以A、B間的距離為兩點的縱坐標(biāo)之差的絕對值;

3)先利用兩點間的距離公式計算出DE、EF、DF,然后根據(jù)等腰三角形的定義可判斷DEF為等腰三角形;

4)找出F關(guān)于x軸的對稱點F′,連接DF′,與x軸交于P點,此時PD+PF最短,設(shè)直線DF′的解析式為y=kx+b,將DF′的坐標(biāo)代入求出kb的值,確定出直線DF′解析式,令y=0求出x的值,確定出P坐標(biāo),由DF′坐標(biāo),利用兩點間的距離公式求出DF′的長,即為PD+PF的最短長度.

1)∵A (1,4)、B (-35),

AB=

2)∵A、B在平行于y軸的直線上,點A的縱坐標(biāo)為-8,點B的縱坐標(biāo)為-1

AB=-1--8=7;

3DEF為等腰三角形.理由如下:

D1,6)、E-22)、F4,2),

DE==5,EF=4--2=6,DF==5

DE=DF,

∴△DEF為等腰三角形;

4)作F關(guān)于x軸的對稱點F′,連接DF′,與x軸交于點P,此時DP+PF最短,

設(shè)直線DF′解析式為y=kx+b,

D16),F′4,-2)代入得:,

解得:

∴直線DF′解析式為y=-x+

y=0,得:x=,即P,0),

PF=PF′,

PD+PF=DP+PF′=DF′==,

PD+PF的長度最短時點P的坐標(biāo)為(,0),此時PD+PF的最短長度為

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2)結(jié)合圖形觀察以上三組點的坐標(biāo),你會發(fā)現(xiàn):坐標(biāo)平面內(nèi)任一點關(guān)于第一、三象限的角平分線的對稱點的坐標(biāo)為___________(不必證明);

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