【題目】矩形ABCD中,AB=2,AD=4,將矩形ABCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至矩形EGCF(其中E、G、F分別與A、B、D對應(yīng)).
(1)如圖1,當點G落在AD邊上時,直接寫出AG的長為 ;
(2)如圖2,當點G落在線段AE上時,AD與CG交于點H,求GH的長;
(3)如圖3,記O為矩形ABCD對角線的交點,S為△OGE的面積,求S的取值范圍.
【答案】(1)4﹣2;(2);(3)4﹣≤S≤4+
【解析】
(1)在Rt△DCG中,利用勾股定理求出DG即可解決問題;
(2)首先證明AH=CH,設(shè)AH=CH=m,則DH=AD﹣HD=4﹣m,在Rt△DHC中,根據(jù)CH2=CD2+DH2,構(gòu)建方程求出m即可解決問題;
(3)如圖,當點G在對角線AC上時,△OGE的面積最小,當點G在AC的延長線上時,△OE′G′的面積最大,分別求出面積的最小值,最大值即可解決問題.
解:(1)如圖1中,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴BC=AD=CG=4,∠D=90°,
∵AB=CD=2,
∴DG===2,
∴AG=AB﹣BG=4﹣2,
故答案為:4﹣2.
(2)如圖2中,
由四邊形CGEF是矩形,得到∠CGE=90°,
∵點G在線段AE上,
∴∠AGC=90°,
∵CA=CA,CB=CG,
∴Rt△ACG≌Rt△ACB(HL).
∴∠ACB=∠ACG,
∵AB∥CD
∴∠ACG=∠DAC,
∴∠ACH=∠HAC,
∴AH=CH,設(shè)AH=CH=m,則DH=AD﹣AH=5﹣m,
在Rt△DHC中,∵CH2=DC2+DH2,
∴m2=22+(4﹣m)2,
∴m=,
∴AH=,GH===.
(3)在Rt△ABC中,,,
由題可知,G點在以C點為圓心,BC為半徑的圓上運動,且GE與該圓相切,因為GE=AB不變,所以O到直線GE的距離即為△OGE的高,當點G在對角線AC上時,OG最短,即△OGE的面積最小,最小值=×OG×EG=×2×(4﹣)=4﹣.
當點G在AC的延長線上時,OG最長,即△OE′G′的面積最大.最大值=×E′G′×OG′=×2×(4+)=4+.
綜上所述,4﹣≤S≤4+.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以A(0, )為圓心的圓與x軸相切于坐標原點O,與y軸相交于點B,弦BD的延長線交x軸的負半軸于點E,且∠BEO=60°,AD的延長線交x軸于點C.
(1)分別求點E、C的坐標;
(2)求經(jīng)過A、C兩點,且以過E而平行于y軸的直線為對稱軸的拋物線的函數(shù)解析式;
(3)設(shè)拋物線的對稱軸與AC的交點為M,試判斷以M點為圓心,ME為半徑的圓與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,點,分別在,上,將沿折疊,使點落在上的點處,又將沿折疊,使點落在直線與的交點處.
(1)求證:點在的角平分線上;
(2)求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示的是寶雞市文化景觀標志“天下第一燈”,它由國際不銹鋼板整體鍛造,表面涂有仿古金色漆,以仿青銅紋飾雕刻的柱體四盞燈分層布置.一天上午,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們帶著測量工具來測量“天下第一燈”的高度,由于有圍欄保護,他們無法到達燈的底部他們制定了一種測量方案,圖2所示的是他們測量方案的示意圖,先在周圍的廣場上選擇一點并在點處安裝了測量器在點處測得該燈的頂點P的仰角為;再在的延長線上確定一點使米,在點處測得該燈的頂點的仰角為.若測量過程中測量器的高度始終為米,求“天下第一燈”的高度.,最后結(jié)果取整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某斜拉橋引申出的部分平面圖,AE,CD是兩條拉索,其中拉索CD與水平橋面BE的夾角為72°,其底端與立柱AB底端的距離BD為4米,兩條拉索頂端距離AC為2米,若要使拉索AE與水平橋面的夾角為35°,請計算拉索AE的長.(結(jié)果精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù):sin35°≈,cos35°≈,tan35°≈,sin72°≈,cos72°≈,tan72°≈)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)交x軸于,,在y軸上有一點,連接AE.
求二次函數(shù)的表達式;
點D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動點.
①求面積最大值并寫出此時點D的坐標;
②若,求此時點D坐標;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點A(1,2),B(3,2),C(5,7).若點M(﹣2,y1),N(﹣1,y2),K(8,y3)也在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上,則y1,y2,y3從小到大的關(guān)系是_____
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