Question

2．已知，△ABC和△A₁B₁C₁均為正三角形，BC和B₁C₁的中點(diǎn)均為D，如圖1．
（1）當(dāng)△A₁B₁C₁繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到△A₂B₂C₂時(shí)，試判斷AA₂與CC₂的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）如果當(dāng)△A₁B₁C₁繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，頂點(diǎn)A₁和AC僅有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)該交點(diǎn)為A₃，如圖3．當(dāng)AB=4時(shí)，求多邊形ABDC₃C的面積．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)以及結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出得∠A₂AD=∠C₂CD，進(jìn)而得出∠ADE=∠CFE=90°，即可得出答案；
（2）首先連接A₃D，過(guò)C₃作C₃G⊥BC于G，進(jìn)而得出C₃C，C₃G的長(zhǎng)，進(jìn)而利用多邊形ABDC₃C的面積=S_△ABC+S_△CC3D，求出答案．

解答 解：（1）AA₂⊥CC₂
理由：在圖2中，連接AD、A₂D、延長(zhǎng)AA₂交BC于E，交CC₂于F，
∵BC和B₁C₁的中點(diǎn)均為D，△A₁B₁C₁繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到△A₂B₂C₂，
∴∠ADA₂=90°-∠A₂DC=∠CDC₂，$\frac{AD}{{D{A_2}}}=\frac{DC}{{D{C_2}}}$，（等邊三角形都相似，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比），
∴△AA₂D∽△CC₂D，
于是得∠A₂AD=∠C₂CD，
又∵∠AED=∠CEF，
∴∠ADE=∠CFE=90°，
∴AA₂⊥CC₂；

（2）在圖3中，連接A₃D，過(guò)C₃作C₃G⊥BC于G，由（1）得AC⊥CC₃，
由題意得A₃D⊥AC，四邊形A₃CC₃D是矩形，
則C₃C=A₃D=2sin60°=$\sqrt{3}$，
C₃G=$\sqrt{3}$sin（90°-60°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故多邊形ABDC₃C的面積=S_△ABC+S_△CC3D=$\frac{1}{2}$×4×4sin60°+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了幾何變換以及相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的應(yīng)用，正確利用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．