Question

17．綜合與實踐：
發(fā)現(xiàn)問題：
如圖①，已知：△OAB中，OB=3，將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△OA′B，連接BB′．
則BB′=3$\sqrt{2}$．
問題探究：
如圖②，已知△ABC是邊長為4$\sqrt{3}$的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC內(nèi)一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，P的對應(yīng)點為Q．
（1）求證：△DCQ≌△BCP
（2）求PA+PB+PC的最小值．
實際應(yīng)用：
如圖③，某貨運場為一個矩形場地ABCD，其中AB=500米，AD=800米，頂點A、D為兩個出口，現(xiàn)在想在貨運廣場內(nèi)建一個貨物堆放平臺P，在BC邊上（含B、C兩點）開一個貨物入口M，并修建三條專用車道PA、PD、PM．若修建每米專用車道的費用為10000元，當(dāng)M，P建在何處時，修建專用車道的費用最少？最少費用為多少？

Answer 1

分析 發(fā)現(xiàn)問題：
（1）由等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到△DCQ≌△BCP的條件；
（2）由兩點之間線段最短得PA+PB+PC最小時的位置，用等邊三角形的性質(zhì)計算；
實際應(yīng)用：先確定出最小值時的位置，當(dāng)M，P，P₁，D₁在同一條直線上時，AP+PM+DP最小，最小值為D₁N，再用等邊三角形的性質(zhì)計算．

解答 解：發(fā)現(xiàn)問題：
由旋轉(zhuǎn)有，∠∠BOB′=90°，OB=3，
根據(jù)勾股定理得，BB′=3$\sqrt{2}$，
（1）∵△BDC是等邊三角形，
∴CD=CB，∠DCB=60°，
由旋轉(zhuǎn)得，∠PCQ=60°，PC=QC，
∴∠DCQ=∠BCP，
在△DCQ和△BCP中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠DCQ=∠BCP}\\{CQ=CP}\end{array}\right.$
∴△DCQ≌△BCP，
（2）如圖1，連接PQ，

∵PC=CQ，∠PCQ=60°
∴△CPQ是等邊三角形，
∴PQ=PC，
由（1）有，DQ=PB，
∴PA+PB+PC=AP+PQ+QD，
由兩點之間線段最短得，AP+PQ+QD≥AD，
∴PA+PB+PC≥AD，
∴當(dāng)點A，P，Q，D在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值為AD的長，
作DE⊥AB，
∵△ABC為邊長是4$\sqrt{3}$的等邊三角形，
∴CB=AC=4$\sqrt{3}$，∠BCA=60°，
∴CD=CB=4$\sqrt{3}$，∠DCE=60°，
∴DE=6，∠DAE=∠ADC=30°，
∴AD=12，
即：PA+PB+PC取最小值為12；
實際應(yīng)用：
如圖2，
連接AM，DM，將△ADP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得△AP′D′，
由（2）知，當(dāng)M，P，P′，D′在同一條直線上時，AP+PM+DP最小，最小值為D′N，
∵M(jìn)在BC上，
∴當(dāng)D′M⊥BC時，D′M取最小值，
設(shè)D′M交AD于E，
∵△ADD′是等邊三角形，
∴EM=AB=500，
∴BM=400，PM=EM-PE=500-$\frac{400\sqrt{3}}{3}$，
∴D′E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=400$\sqrt{3}$，
∴D′M=400$\sqrt{3}$+500，
∴最少費用為10000×（400$\sqrt{3}$+500）=1000000（4$\sqrt{3}$+5）萬元；
∴M建在BC中點（BM=400米）處，點P在過M且垂直于BC的直線上，且在M上方（500-$\frac{400\sqrt{3}}{3}$）米處，最少費用為1000000（4$\sqrt{3}$+5）萬元．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，兩點之間線段最短時的位置的確定，解本題的關(guān)鍵是確定取最小值時的位置．