【題目】如圖1,一副直角三角板滿足AB=BC,AC=DE,ABC=DEF=90°,EDF=30°

操作:將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上,再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P,邊EF與邊BC于點(diǎn)Q.

探究一:在旋轉(zhuǎn)過程中,

(1)如圖2,當(dāng)時(shí),EPEQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并給出證明;

(2)如圖3,當(dāng)時(shí),EPEQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由;

(3)根據(jù)你對(duì)(1)、(2)的探究結(jié)果,試寫出當(dāng)時(shí),EPEQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為   ,其中m的取值范圍是   .(直接寫出結(jié)論,不必證明)

探究二:若AC=30cm,連接PQ,設(shè)EPQ的面積為S(cm2),在旋轉(zhuǎn)過程中:

(1)S是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,說明理由.

(2)隨著S取不同的值,對(duì)應(yīng)EPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化,求出相應(yīng)S的值或取值范圍.

【答案】探究一:(1)EP=EQ;證明見解析;(2)1:2,證明見解析;(3)EP:EQ=1:m,∴0<m≤2+;探究二:(1)當(dāng)x=10時(shí),面積最小,是50cm2;當(dāng)x=10時(shí),面積最大,是75cm2.(2)50<S≤62.5時(shí),這樣的三角形有2個(gè);當(dāng)S=5062.5<S≤75時(shí),這樣的三角形有一個(gè).

【解析】探究一:(1)連接BE,根據(jù)已知條件得到EAC的中點(diǎn),根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明BE=CE,PBE=C,根據(jù)等角的余角相等可以證明∠BEP=CEQ,即可得到全等三角形,從而證明結(jié)論;

(2)作EMAB,ENBCM、N,根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等證明MEP∽△NWQ,發(fā)現(xiàn)EP:EQ=EM:EN,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EM:EN=AE:CE;

(3)根據(jù)(2)中求解的過程,可以直接寫出結(jié)果;要求m的取值范圍,根據(jù)交點(diǎn)的位置的限制進(jìn)行分析

探究二:(1)設(shè)EQ=x,結(jié)合上述結(jié)論,用x表示出三角形的面積,根據(jù)x的最值求得面積的最值;

(2)首先求得EQEB重合時(shí)的三角形的面積的值,再進(jìn)一步分情況討論.

探究一:(1)連接BE,

根據(jù)EAC的中點(diǎn)和等腰直角三角形的性質(zhì),得

BE=CE,PBE=C,

又∠BEP=CEQ,

BEP≌△CEQ,得EP=EQ;

(2)作EMAB,ENBCM,N,

∴∠EMP=ENC,

∵∠MEP+PEN=PEN+NEF=90°,

∴∠MEP=NEF,

∴△MEP∽△NEQ,

EP:EQ=EM:EN=AE:CE=1:2;

(3)過E點(diǎn)作EMAB于點(diǎn)M,作ENBC于點(diǎn)N,

∵在四邊形PEQB中,∠B=PEQ=90°,

∴∠EPB+EQB=180°(四邊形的內(nèi)角和是360°),

又∵∠EPB+MPE=180°(平角是180°),

∴∠MPE=EQN(等量代換),

RtMEPRtNEQ,

,

RtAMERtENC,

,

EPEQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為EP:EQ=1:m,

0<m≤2+;(當(dāng)m>2+時(shí),EFBC不會(huì)相交).

探究二:若AC=30cm,

(1)設(shè)EQ=x,則S=x2,

所以當(dāng)x=10時(shí),面積最小,是50cm2;

當(dāng)x=10時(shí),面積最大,是75cm2;

(2)當(dāng)x=EB=5時(shí),S=62.5cm2,

故當(dāng)50<S≤62.5時(shí),這樣的三角形有2個(gè);

當(dāng)S=5062.5<S≤75時(shí),這樣的三角形有一個(gè).

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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩名同學(xué)分別進(jìn)行6次射擊訓(xùn)練,訓(xùn)練成績(單位:環(huán))如下表

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六交

9

8

6

7

8

10

8

7

9

7

8

8

對(duì)他們的訓(xùn)練成績作如下分析,其中說法正確的是( 。

A. 他們訓(xùn)練成績的平均數(shù)相同 B. 他們訓(xùn)練成績的中位數(shù)不同

C. 他們訓(xùn)練成績的眾數(shù)不同 D. 他們訓(xùn)練成績的方差不同

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,如圖, , ,,,P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)PPEAB,垂足為E,延長PE至點(diǎn)Q,使PQ=PC, 聯(lián)結(jié)交邊AB于點(diǎn).

1)求AD的長;

2)設(shè),的面積為y, y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;

3)過點(diǎn)C, 垂足為F, 聯(lián)結(jié)PF、QF, 試探索當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的什么位置時(shí),為等邊三角形?請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置并加以證明.

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【題目】數(shù)軸上線段的長度可以用線段端點(diǎn)表示的數(shù)進(jìn)行減法運(yùn)算得到,例如:如圖①,若點(diǎn)在數(shù)軸上分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為,則的長度可以表示為

請(qǐng)你用以上知識(shí)解決問題:

如圖②,一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始,先向左移動(dòng)個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn),再向右移動(dòng)個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn),然后向右移動(dòng)個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn).

請(qǐng)你在圖②的數(shù)軸上表示出三點(diǎn)的位置.

若點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度向左移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒個(gè)單位長度和個(gè)單位長度的速度向右移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒.

①當(dāng)時(shí),求的長度;

②試探究:在移動(dòng)過程中,的值是否隨著時(shí)間的變化而改變?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,請(qǐng)求其值.

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【題目】為緩解油價(jià)上漲給出租車待業(yè)帶來的成本壓力,某巿自20181117日起,調(diào)整出租車運(yùn)價(jià),調(diào)整方案見下列表格及圖象(其中a,b,c為常數(shù))

行駛路程

收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)

調(diào)價(jià)前

調(diào)價(jià)后

不超過3km的部分

起步價(jià)6

起步價(jià)a

超過3km不超出6km的部分

每公里2.1

每公里b

超出6km的部分

每公里c

設(shè)行駛路程xkm時(shí),調(diào)價(jià)前的運(yùn)價(jià)y1(元),調(diào)價(jià)后的運(yùn)價(jià)為y2(元)如圖,折線ABCD表示y2x之間的函數(shù)關(guān)系式,線段EF表示當(dāng)0≤x≤3時(shí),y1x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)圖表信息,完成下列各題:

(1)填空:a=   ,b=   ,c=   

(2)寫出當(dāng)x>3時(shí),y1x的關(guān)系,并在上圖中畫出該函數(shù)的圖象

(3)函數(shù)y1y2的圖象是否存在交點(diǎn)?若存在,求出交點(diǎn)的坐標(biāo),并說明該點(diǎn)的實(shí)際意義,若不存在請(qǐng)說明理由.

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【題目】3分)以下四種沿AB折疊的方法中,不一定能判定紙帶兩條邊線ab互相平行的是( )

A. 如圖1,展開后測(cè)得∠1=∠2

B. 如圖2,展開后測(cè)得∠1=∠2∠3=∠4

C. 如圖3,測(cè)得∠1=∠2

D. 如圖4,展開后再沿CD折疊,兩條折痕的交點(diǎn)為O,測(cè)得OA=OB,OC=OD

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在所給正方形網(wǎng)格圖中完成下列各題:(用直尺畫圖,保留痕跡)

(1)畫出格點(diǎn)ABC(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上)關(guān)于直線DE對(duì)稱的A1B1C1;

(2)在DE上畫出點(diǎn)Q,使QA+QC最。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】 以下沿AB折疊的方法中,不一定能判定紙帶兩條邊a,b互相平行的是( 。

A.如圖①,展開后測(cè)得∠1=2B.如圖②,展開后測(cè)得∠1=2,且∠3=4

C.如圖③,展開后測(cè)得∠1=2,且∠3=4D.如圖④,展開后測(cè)得∠1+2=180°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABC的周長為19,點(diǎn)D,E在邊BC上,∠ABC的平分線垂直于AE,垂足為N,ACB的平分線垂直于AD,垂足為M,若BC=7,則MN的長度為(  )

A. B. 2 C. D. 3

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