Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4

3

），點(diǎn)B在x正半軸上，且∠ABO=30度．動點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒

3

個(gè)單位的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．在x軸上取兩點(diǎn)M，N作等邊△PMN．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求等邊△PMN的邊長（用t的代數(shù)式表示），并求出當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點(diǎn)M運(yùn)動到與原點(diǎn)O重合時(shí)t的值；
（3）如果取OB的中點(diǎn)D，以O(shè)D為邊在Rt△AOB內(nèi)部作如圖2所示的矩形ODCE，點(diǎn)C在線段AB上．設(shè)等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請求出當(dāng)0≤t≤2秒時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）先在直角三角形AOB中，根據(jù)∠ABO的度數(shù)和OA的長，求出OB的長，即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式．
（2）求等邊三角形的邊長就是求出PM的長，可在直角三角形PMB中，用t表示出BP的長，然后根據(jù)∠ABO的度數(shù)，求出PM的長．
當(dāng)M、O重合時(shí)，可在直角三角形AOP中，根據(jù)OA的長求出AP的長，然后根據(jù)P點(diǎn)的速度即可求出t的值．
（3）本題要分情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)N在D點(diǎn)左側(cè)且E在PM右側(cè)或在PM上時(shí)，即當(dāng)0≤t≤1時(shí)，重合部分是直角梯形EGNO．
②當(dāng)N在D點(diǎn)左側(cè)且E在PM左側(cè)時(shí)，即當(dāng)1＜t＜2時(shí)，此時(shí)重復(fù)部分為五邊形，（如圖3）其面積可用△PMN的面積-△PIG的面積-△OMF的面積來求得．（也可用梯形ONGE的面積-三角形FEI的面積來求）．
③當(dāng)N、D重合時(shí)，即t=2時(shí)，此時(shí)M、O也重合，此時(shí)重合部分為等腰梯形．
根據(jù)上述三種情況，可以得出三種不同的關(guān)于重合部分面積與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和各自的自變量的取值范圍求出對應(yīng)的S的最大值．

解答：解：（1）由OA=4

3

，∠ABO=30°，得到OB=12，
∴B（12，0），設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A和B坐標(biāo)代入得：

b=4 3 12k+b=0

，
解得：

k=- 3 3 b=4 3

，
則直線AB的解析式為：y=-

3

3

x+4

3

．

（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=8

3

，
∵AP=

3

t，
∴BP=AB-AP=8

3

-

3

t，
∵△PMN是等邊三角形，
∴∠MPB=90°，
∵tan∠PBM=

PM

PB

，
∴PM=（8

3

-

3

t）×

3

3

=8-t．
如圖1，過P分別作PQ⊥y軸于Q，PS⊥x軸于S，
可求得AQ=

1

2

AP=

3

2

t，PS=QO=4

3

-

3

2

t，
∴PM=（4

3

-

3 t

2

）÷

3

2

=8-t，
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，
∵∠BAO=60°，
∴AO=2AP．
∴4

3

=2

3

t，
∴t=2．

（3）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，見圖2．
設(shè)PN交EC于點(diǎn)G，重疊部分為直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．
∵∠GNH=60°，GH=2

3

，
∴HN=2，
∵PM=8-t，
∴BM=16-2t，
∵OB=12，
∴ON=（8-t）-（16-2t-12）=4+t，
∴OH=ON-HN=4+t-2=2+t=EG，
∴S=

1

2

（2+t+4+t）×2

3

=2

3

t+6

3

．
∵S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=1時(shí)，Smax=8

3

．
②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，見圖3．
設(shè)PM交EC于點(diǎn)I，交EO于點(diǎn)F，PN交EC于點(diǎn)G，重疊部分為五邊形OFIGN．
作GH⊥OB于H，
∵FO=4

3

-2

3

t，
∴EF=2

3

-（4

3

-2

3

t）=2

3

t-2

3

，
∴EI=2t-2．
∴S=S_梯形ONGE-S_△FEI=2

3

t+6

3

-

1

2

（2t-2）（2

3

t-2

3

）=-2

3

t²+6

3

t+4

3

由題意可得MO=4-2t，OF=（4-2t）×

3

，PC=4

3

-

3

t，PI=4-t，
再計(jì)算S_△FMO=

1

2

（4-2t）²×

3

S_△PMN=

3

4

（8-t）²，S_△PIG=

3

4

（4-t）²，
∴S=S_△PMN-S_△PIG-S_△FMO=

3

4

（8-t）²-

3

4

（4-t）²-

1

2

（4-2t）²×

3

=-2

3

t²+6

3

t+4

3

∵-2

3

＜0，
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，S有最大值，Smax=

17 3

2

．
③當(dāng)t=2時(shí)，MP=MN=6，即N與D重合，
設(shè)PM交EC于點(diǎn)I，PD交EC于點(diǎn)G，重疊部
分為等腰梯形IMNG，見圖4．S=

3

4

×6²-

3

4

×2²=8

3

，
綜上所述：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=2

3

t+6

3

；
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，S=-2

3

t²+6

3

t+4

3

；
當(dāng)t=2時(shí)，S=8

3

．

∵

17 3

2

＞8

3

，
∴S的最大值是

17 3

2

．

點(diǎn)評：本題考查一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、三角形相似及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．