Question

9．已知拋物線的頂點為（0，4）且與x軸交于（-2，0），（2，0）．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖，將拋物線向右平移k個單位，設(shè)平移后拋物線的頂點為D，與x軸的交點為A、B，與原拋物線的交點為P
①當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時，求此時k的值；
②是否存在這樣的k值，使得△ABP的面積是△ABD面積的$\frac{1}{2}$？如果存在求出k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點坐標(biāo)，可得頂點式解析式，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，可得CE與CA的關(guān)系，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠EDC的度數(shù)，根據(jù)正切函數(shù)，可得答案；
（3）根據(jù)解方程組，可得P點坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積間的關(guān)系，可得關(guān)于k的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）由拋物線的頂點為（0，4），
可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+4．
由拋物線過點（2，0），得
0=4a+4，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+4；


（2）①如圖，連接CE，CD．

∵OD是⊙C的切線，
∴CE⊥OD．
在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，
∴∠EDC=30°．
∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，
∴OC=CDtan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切時，k=OC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
②平移k個單位后的拋物線的解析式是y=（x-k）²+4
它與y=x²+4交于點P，可得點P的坐標(biāo)是（$\frac{k}{2}$，-$\frac{{k}^{2}}{4}$+4），
∴當(dāng)k＜4時，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•y_P=$\frac{1}{2}$×4（4-$\frac{{k}_{2}}{4}$）=8-$\frac{{k}^{2}}{2}$；
當(dāng)k＞4時，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•y_P=$\frac{1}{2}$×4（$\frac{{k}^{2}}{4}$-4）=$\frac{{k}^{2}}{2}$-8
又∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•_D=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∴$8-\frac{k^2}{2}=4$或$\frac{k^2}{2}-8=4$，解得k=2$\sqrt{2}$或k=2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用切線的性質(zhì)得出CE的長，利用直角三角形的性質(zhì)得出∠EDC的度數(shù)，又利用了正切函數(shù)；（3）利用三角形面積間的關(guān)系得出關(guān)于k的方程是解題關(guān)鍵，注意要分類討論，以防遺漏．