Question

18．如圖，△ABO的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，4）、（-2，0），直線l交x軸于C、交y軸于D，且它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+6；規(guī)定：對(duì)于平面上的某一點(diǎn)M，當(dāng)它沿水平向右的方向平移，平移到直線l上為止，這個(gè)過程中平移的距離，稱為點(diǎn)M的“右平移距離”．
（1）請(qǐng)你直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)、A點(diǎn)的“右平移距離”（AE的長(zhǎng)度）、直線AB的表達(dá)式；
（2）若線段AB上有一點(diǎn)P的“右平移距離”PF=6，試求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若某點(diǎn)的“右平移距離”不超過6，則稱該點(diǎn)為“安全點(diǎn)”．在△ABO的內(nèi)部或邊上的所有“安全點(diǎn)”集中在一定的區(qū)域，試求出這個(gè)區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得D、E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的橫坐標(biāo)減較小的橫坐標(biāo)，可得AE的長(zhǎng)，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得AB的解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)在直線上，可得P，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)PF的距離，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)平行線間的平行線段相等，可得PO上的點(diǎn)是安全點(diǎn)，線段AP上的點(diǎn)是安全點(diǎn)，再根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=6，即D（0，6）；
當(dāng)y=4時(shí)，-x+6=4，解得x=2，即E（2，4），
AE的長(zhǎng)為2-0=2；
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，將A（0，4），B（-2，0）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
直線AB的表達(dá)式y(tǒng)=2x+4；
（2）由線段AB上有一點(diǎn)P，設(shè)P（$\frac{b-4}{2}$，b），
由F在CD上，設(shè)F（6-b，b）．
由PF的長(zhǎng)為6，得
6-b-$\frac{b-4}{2}$=6．
解得b=$\frac{4}{3}$，
$\frac{b-4}{2}$=$\frac{\frac{4}{3}-4}{2}$=-$\frac{4}{3}$，
即P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
（3）如圖：

過P點(diǎn)平行CD的解析式為y=-x，
PO上的點(diǎn)是安全點(diǎn)，AP上的點(diǎn)是安全點(diǎn)，
△APO是安全區(qū)域，
S_△APO=$\frac{1}{2}$AO•|P_x|=$\frac{1}{2}$×4×|-$\frac{4}{3}$|=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系求點(diǎn)的坐標(biāo)，（2）利用平行于x軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的橫坐標(biāo)減較小的橫坐標(biāo)得出關(guān)于b的方程是解題關(guān)鍵，（3）利用了平行線間的平行線段相等出得PO上的點(diǎn)是安全點(diǎn)是解題關(guān)鍵．