Question

8．西南鋁業(yè)集團(tuán)成功研制出一種新型鎳合金產(chǎn)品．批量生產(chǎn)后向A、B兩地銷售，市場(chǎng)火爆得供不應(yīng)求．已知這種產(chǎn)品每月的產(chǎn)量x（噸）與成本y（萬(wàn)元）成二次函數(shù)關(guān)系：y=$\frac{1}{10}$x²+5x+90，在A、B兩地每噸的售價(jià)P_A（萬(wàn)元）和P_B（萬(wàn)元）均與x成一次函數(shù)．
（1）已知P_A=-$\frac{1}{20}$x+14，若每月的產(chǎn)量x（噸）都在A地銷售，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示在A地每月的銷售額，并求利潤(rùn)W_A（萬(wàn)元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式（注；利潤(rùn)=銷售額-成本）
（2）若P_B=-$\frac{1}{10}$x+b（b為常數(shù)），如果每月的產(chǎn)量x（噸）都在B地銷售，可獲得的最大利潤(rùn)為35萬(wàn)元，求b的值；
（3）鋁業(yè)集團(tuán)2014年2月計(jì)劃生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品18噸，根據(jù)（1），（2）中的結(jié)果請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算并選擇在A地還是在B地銷售才能獲得較大的利潤(rùn)？

Answer 1

分析 （1）依據(jù)年利潤(rùn)=年銷售額-全部費(fèi)用即可求得利潤(rùn)W_A（萬(wàn)元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出利潤(rùn)W_B（萬(wàn)元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)最大年利潤(rùn)為35萬(wàn)元．求出b的值；
（3）分別求出x=18時(shí)，W_A和W_B的值，通過(guò)比較W_A和W_B大小就可以幫助投資商做出選擇．

解答 解：（1）A地當(dāng)年的年銷售額為（-$\frac{1}{20}$x+14）•x=（-$\frac{1}{20}$x²+14x）萬(wàn)元；
w_A=（-$\frac{1}{20}$x²+14x）-（$\frac{1}{10}$x²+5x+90）=-$\frac{3}{20}$x²+9x-90．
（2）在B地區(qū)生產(chǎn)并銷售時(shí)，
年利潤(rùn)：w_B=-$\frac{1}{10}$x+b-（$\frac{1}{10}$x²+5x+90）
=-$\frac{1}{5}$x²+（b-5）x-90．
由$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-\frac{1}{5}）×（-90）-（n-5）^{2}}{4×（-\frac{1}{5}）}$=35，
解得b=15或-5．
經(jīng)檢驗(yàn)，b=-5不合題意，舍去，
∴b=15．
（3）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時(shí)，年利潤(rùn)
w_B=-$\frac{1}{5}$x²+10x-90，
將x=18代入上式，得w_B=25.2（萬(wàn)元）；
將x=18代入w_A=-$\frac{3}{20}$x²+9x-90，
得w_A=23.4（萬(wàn)元）．
∵W_B＞W(wǎng)_A，
∴應(yīng)選B地．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，本題是一道最佳方案選擇題，通過(guò)計(jì)算、比較同一個(gè)自變量的兩個(gè)函數(shù)值的大小來(lái)選擇最佳方案．依據(jù)年利潤(rùn)=年銷售額-全部費(fèi)用即可求得利潤(rùn)W_A（萬(wàn)元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式及利潤(rùn)W_B（萬(wàn)元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式，分別求出x=18時(shí)，W_A和W_B的值，通過(guò)比較W_A和W_B大小就可以幫助投資商做出選擇