Question

（2013•工業(yè)園區(qū)二模）如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于M點．當線段AM最短時，重疊部分的面積是

96

25

．

Answer 1

分析：先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ABE∽△ECM，設BE=x，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，易得CM的表達式繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊部分的面積．

解答：解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM，
設BE=x，
∴

CM

BE

=

CE

AB

，即

CM

x

=

6-x

5

，
∴CM=-

x2

5

+

6

5

x=-

1

5

（x-3）²+

9

5

，
∴AM=5-CM=

1

5

（x-3）²+

16

5

，
∴當x=3時，AM最短為

16

5

，

又∵當BE=x=3=

1

2

BC，
∴點E為BC的中點，
∴AE⊥BC，
∴AE=

AB2-BE2

=

52-32

=4，此時EF⊥AC，
∴EM=

CE2-CM2

=

32-( 9 5 )2

=

12

5

，
∴S_△AEM=

1

2

AM•EM=

1

2

×

16

5

×

12

5

=

96

25

．
故答案為：

96

25

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及二次函數(shù)的最值問題，在解答此題時要注意數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應用．