Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l₁：y=

3

3

x，直線l₂：y=

3

x，在直線l₁上取一點(diǎn)B，使OB=1，以點(diǎn)B為對(duì)稱中心，作點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B₁，過(guò)點(diǎn)B₁作B₁A₁∥l₂，交x軸于點(diǎn)A₁，作B₁C₁∥x軸，交直線l₂于點(diǎn)C₁，得到四邊形OA₁B₁C₁；再以點(diǎn)B₁為對(duì)稱中心，作O點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B₂，過(guò)點(diǎn)B₂作B₂A₂∥l₂，交x軸于點(diǎn)A₂，作B₂C₂∥x軸，交直線l₂于點(diǎn)C₂，得到四邊形OA₂B₂C₂；…；按此規(guī)律作下去，則四邊形OA_nB_nC_n的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題,規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)直線的解析式求得直線和x軸的夾角的大小，再根據(jù)題意求得OB_n的長(zhǎng)，然后依據(jù)直角三角形三角函數(shù)的求法求得OA₁的長(zhǎng)，進(jìn)而求得OA_n的長(zhǎng)，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求得OA_n=A_nC_n，最后根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線積的一半即可求得．

解答：解：∵直線l：y=

3

3

x，
直線l₂：y=

3

x，
∴直線l₁與x軸夾角為30°，
直線l₂與x軸夾角為60°，
B為l₁上一點(diǎn)，且OB=1，
根據(jù)題意可知：
OB=1，
OB₁=2，
OB₂=4，
OB₃=8，
OB₄=16，
 …
OB_n=2ⁿ，
四邊形OA₁B₁C₁、四邊形OA₂B₂C₂、四邊形OA₃B₃C₃…是菱形，
∵∠A₁OC₁=60°，
∴△OA₁C₁，△OA₂C₂，△OAC，△OA₃C₃，…△OA_nC_n是等邊三角形，
∴OA₁=A₁C₁，OA₂=A₂C₂，OA₃=A₃C₃…OA_n=A_nC_n，
∵OA₁=A₁C₁=

2

3

3

，
OA₂=A₂C₂=

4

3

3

，
OA₃=A₃C₃=

8

3

3

，
 …
OA_n=A_nC_n=

2n

3

3

∴四邊形OA_nB_nC_n的面積=

1

2

A_nC_n•OB_n=

1

2

×

2n

3

3

×2ⁿ=

4n

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用中心對(duì)稱的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)求得線段的長(zhǎng)，得出一般規(guī)律．