Question

（2012•樂山）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長BD交CF于點(diǎn)G．
①求證：BD⊥CF；
②當(dāng)AB=4，AD=

2

時(shí)，求線段BG的長．

Answer 1

分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可證得BD=CF；
（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可證得BD⊥CF；
②首先過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長，繼而求得AN，CN的長，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得AM=

1

3

AB=

4

3

，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的長，再由勾股定理即可求得線段BG的長．

解答：解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．…（3分）

（2）①證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M．
∵△BAD≌△CAF（已證），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．…（6分）

②過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=

2

，
∴AE=

AD2+DE2

=2，
∴AN=FN=

1

2

AE=1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，BC=

AB2+AC2

=4

2

．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=

FN

CN

=

1

3

．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=

AM

AB

=tan∠FCN=

1

3

．
∴AM=

1

3

AB=

4

3

．
∴CM=AC-AM=4-

4

3

=

8

3

，BM=

AB2+AM2

=

4 10

3

．…（9分）
∵△BMA∽△CMG，
∴

BM

BA

=

CM

CG

．
∴

4 10 3

4

=

8 3

CG

．
∴CG=

4 10

5

．…（11分）
∴在Rt△BGC中，BG=

BC2-CG2

=

8 10

5

．…（12分）

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．