Question

14．如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE與AD相交于F．
（1）求證：BF=AC；
（2）若CD=3，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形腰長相等性質(zhì)可得AD=BD，即可求證△BDF≌△ACD，即可解題；
（2）連接CF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=DC，得到△DFC是等腰直角三角形．推出AE=EC，BE是AC的垂直平分線．于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）AD⊥BD，∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BFD=∠ACD，
在△BDF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠ACD}\\{∠BDF=∠ADC}\\{BD=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ACD（AAS），
∴BF=AC；
  
（2）連接CF，
∵△BDF≌△ADC，
∴DF=DC，
∴△DFC是等腰直角三角形．
∵CD=3，CF=$\sqrt{2}$CD=3$\sqrt{2}$，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=EC，BE是AC的垂直平分線．
∴AF=CF，
∴AF=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形底邊三線合一的性質(zhì)，本題中求證△BDF≌△ACD是解題的關(guān)鍵．