Question

【題目】已知：△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,以BC為底邊作一個(gè)頂角為120等腰△BDC.點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是AB邊與AC邊上的點(diǎn),并且滿足∠MDN=60

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外部時(shí)，求證：BM+CN=MN；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，并直接寫出△AMN的周長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3．

【解析】

（1）延長(zhǎng)AB至F，使BF=CN，連接DF，證明△BDF≌△CDN，△DMN≌△DMF即可得到結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)BD交AC于P，延長(zhǎng)CD交AB于Q，截取KP=QM，連接DK．通過(guò)證明△BDQ≌△CDP，△MDQ≌△KDP，△MDN≌△KDN可得△AMN的周長(zhǎng)＝AQ+AP=3．

（1）延長(zhǎng)AB至F，使BF=CN，連接DF．

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°．

∵△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠DBA=∠DCA=90°，∴∠DBF=∠DBA=∠DCA=90°．

在△BDF和△CND中，∵BF=CN，∠DBF=∠DCN，DB=DC，∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．

∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM為公共邊，∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF．

∵MF=BM+BF=MB+CN，∴MN=BM+CN．

（2）延長(zhǎng)BD交AC于P，延長(zhǎng)CD交AB于Q，截取KP=QM，連接DK．

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDQ=∠CDP=60°．

又∵△ABC等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠MBD=∠PCD=30°，CQ⊥AB，BP⊥AC，∴AQ=BQAB，AP=PCAC．

在△BDQ和△CDP中，∵，∴△BDQ≌△CDP（ASA），∴BQ=PC，QD=PD．

∵CQ⊥AB，BP⊥AC，∴∠MQD=∠DPK=90°．

在△MDQ與△KDP中，

∵，

∴△MDQ≌△KDP（SAS），

∴∠QDM=∠PDK，DM=DK．

∵∠BDQ=60°，∠MDN=60°，∴∠QDM+∠PDN=60°，

∴∠PDK+∠PDN=60°，即∠KDN=60°．

在△MDN與△KDN中，∵，∴△MDN≌△KDN（SAS），

∴MN=KN=NP+PK，

∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AQ+AP3．

故△AMN的周長(zhǎng)為3．