Question

在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3

5

．分別以O(shè)A、OC邊所在直線(xiàn)為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）已知D、E分別為線(xiàn)段OC、OB上的點(diǎn)，OD=5，OE=2EB，直線(xiàn)DE交x軸于點(diǎn)F，求直線(xiàn)DE的解析式；
（3）點(diǎn)M是（2）中直線(xiàn)DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)B作BH⊥x軸于H，則OH=BC=3，進(jìn)而可求得AH的長(zhǎng)，在Rt△ABH中，根據(jù)勾股定理即可求出BH的長(zhǎng)，由此可得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)E作EG⊥x軸于G，易得△OGE∽△OHB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出EG、OG的長(zhǎng)，即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)DE的解析式；
（3）此題應(yīng)分情況討論：
①以O(shè)D、ON為邊的菱形ODMN，根據(jù)直線(xiàn)DE的解析式可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到OF的長(zhǎng)；過(guò)M作MP⊥y軸于P，通過(guò)構(gòu)建的相似三角形可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，將M點(diǎn)向下平移OD個(gè)單位即可得到N點(diǎn)的坐標(biāo)；
②以O(shè)D、OM為邊的菱形ODNM，此時(shí)MN∥y軸，延長(zhǎng)NM交x軸于P，可根據(jù)直線(xiàn)DE的解析式用未知數(shù)設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可在Rt△OMP中，由勾股定理求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，將M點(diǎn)向上平移OD個(gè)單位即可得到N點(diǎn)的坐標(biāo)；
③以O(shè)D為對(duì)角線(xiàn)的菱形OMCN，根據(jù)菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的性質(zhì)即可求得M、N的縱坐標(biāo)，將M點(diǎn)縱坐標(biāo)代入直線(xiàn)DE的解析式中即可求出M點(diǎn)坐標(biāo)，而M、N關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，由此可得到N點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）作BH⊥x軸于點(diǎn)H，則四邊形OHBC為矩形，
∴OH=CB=3，（1分）
∴AH=OA-OH=6-3=3，
在Rt△ABH中，BH=

BA2-AH2

=

(3 5 )2-32

=6，（2分）
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6）；（3分）

（2）作EG⊥x軸于點(diǎn)G，則EG∥BH，
∴△OEG∽△OBH，（4分）
∴

OE

OB

=

OG

OH

=

EG

BH

，
又∵OE=2EB，
∴

OE

OB

=

2

3

，
∴

2

3

=

OG

3

=

EG

6

，
∴OG=2，EG=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），（5分）
又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，5），
設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為y=kx+b，
則

2k+b=4 b=5

，
解得k=-

1

2

，b=5，
∴直線(xiàn)DE的解析式為：y=-

1

2

x+5；（7分）

（3）答：存在（8分）
①如圖1，當(dāng)OD=DM=MN=NO=5時(shí)，四邊形ODMN為菱形．作MP⊥y軸于點(diǎn)P，則MP∥x軸，∴△MPD∽△FOD
∴

MP

OF

=

PD

OD

=

MD

FD

，
又∵當(dāng)y=0時(shí)，-

1

2

x+5=0，
解得x=10，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），
∴OF=10，
在Rt△ODF中，F(xiàn)D=

OD2+OF2

=

52+102

=5

5

，
∴

MP

10

=

PD

5

=

5

5 5

，
∴MP=2

5

，PD=

5

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2

5

，5+

5

），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2

5

，

5

）；（10分）

②如圖2，當(dāng)OD=DN=NM=MO=5時(shí)，四邊形ODNM為菱形．延長(zhǎng)NM交x軸于點(diǎn)P，則MP⊥x軸．
∵點(diǎn)M在直線(xiàn)y=-

1

2

x+5上，
∴設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-

1

2

a+5），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，
∴a²+（-

1

2

a+5）²=5²，
解得：a₁=4，a₂=0（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，3），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，8）；（12分）

③如圖3，當(dāng)OM=MD=DN=NO時(shí)，四邊形OMDN為菱形，連接NM，交OD于點(diǎn)P，則NM與OD互相垂直平分，
∴y_M=y_N=OP=

5

2

，
∴-

1

2

x_M+5=

5

2

，
∴x_M=5，
∴x_N=-x_M=-5，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-5，

5

2

），（14分）
綜上所述，x軸上方的點(diǎn)N有三個(gè)，分別為N₁（-2

5

，

5

），N₂（4，8），N₃（-5，

5

2

）．
（其它解法可參照給分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的確定以及菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，需注意的是（3）題要根據(jù)菱形的不同構(gòu)成情況分類(lèi)討論，以免漏解．