Question

如圖，P是半徑為4cm的圓內(nèi)一點，OP=2cm，過點P的弦與圓弧組成弓形，當過點P的弦垂直于OP時，弦與其所對的劣弧組成的弓形面積最小，那么最小弓形面積是多少？

Answer 1

考點：扇形面積的計算,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：如圖，作輔助線；首先求出∠AOB的度數(shù)；求出AB的長度；借助面積公式求出扇形AOB、△OAB的面積，即可解決問題．

解答：解：連接OA、OB．
∵OP⊥AB，且OP=2，OA=4，
∴∠A=30°，∠AOP=60°，∠AOB=120°；
由勾股定理得：PA²=OA²-OP²，
∴PA=2

3

，AB=2AP=4

3

；
設扇形AOB、△OAB的面積分別為α、β；
則α=

120π×42

360

=

16π

3

，β=

1

2

AB•OP=

1

2

×4

3

×2=4

3

，
∴最小弓形面積=α-β=

16π

3

-4

3

（cm²）．

點評：該題主要考查了扇形的面積、勾股定理、垂徑定理及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．