Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過(guò)A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)△CMN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得 解得： ，

∴拋物線表達(dá)式為：y=﹣x2+4x；

（2）

解：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），

又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），

∴BC=2，

∴S△ABC= ×2×3=3；

（3）

解：過(guò)P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D，

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+4m），

根據(jù)題意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∴S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，

6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m），

∴3m2﹣15m=0，

m1=0（舍去），m2=5，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，﹣5）．

（4）

解：以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，分三類(lèi)情況討論：

①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí)，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

則△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0），

由勾股定理得：MC= = ，

∴S△CMN= × × = ；

②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí)，如圖3，作輔助線，構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，MD=ME=2，

由勾股定理得：CM= = ，

∴S△CMN= × × = ；

③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí)，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，作輔助線，

同理得：CN= = ，

∴S△CMN= × × =17；

④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí)，作輔助線，如圖5，同理得：CN= = ，

∴S△CMN= × × =5；

⑤以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上所述：△CMN的面積為： 或 或17或5．

【解析】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)；本題的一般思路為：①根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用面積公式直接表示或求和或求差列式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用等腰直角三角形的兩直角邊相等，構(gòu)建兩直角三角形全等，再利用全等性質(zhì)與點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合解決問(wèn)題．（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸x=2寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），根據(jù)面積公式求△ABC的面積；（3）因?yàn)辄c(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面積，列式計(jì)算求出m的值，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）分別以點(diǎn)C、M、N為直角頂點(diǎn)分三類(lèi)進(jìn)行討論，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的長(zhǎng)，利用面積公式進(jìn)行計(jì)算．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰直角三角形，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°才能得出正確答案．