【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣3,0)、B(1,0)兩點,與y軸交于點C,連接AC..
(1)請求出拋物線y=ax2+bx+3的解析式;
(2)如圖2,點P、點Q同時從點A出發(fā),點P沿AC以每秒個單位長度的速度,由點A向點C運動;點Q沿AB以每秒2個單位長度的速度,由點A向點B運動;當(dāng)一個點停止運動時,另一個點也隨之停止運動,設(shè)點P的運動時間為t秒,連接PQ.
①求證:PQ⊥AC;
②過點Q作QE⊥x軸,交拋物線于點E,連接PE,當(dāng)PQ=PE時,請求出t的值;
③在y軸上是否存在點D,使以點A、P、Q、D為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出D點坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)①見解析;②t的值為;③D(0,1).
【解析】
(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;(2)①證明△OAC為等腰直角三角形,再證△APQ∽△AOC,得∠APQ=∠AOC=90°,所以PQ⊥AC;②作PF⊥x軸于F,PH⊥EQ于H,求出E(2t﹣3,2t),把E(2t﹣3,2t)代入y=﹣x2﹣2x+3得﹣(2t﹣3)2﹣2(2t﹣3)+3=3,解方程可得;③解:存在.由四邊形AQDP為平行四邊形,得DQ=AP=t,∠DQO=∠PAQ=45°,而OQ=OD=3﹣2t,可得t=(3﹣2t),解得t=1,可得D的坐標(biāo).
(1)解:設(shè)拋物線解析式為y=a(x+3)(x﹣1),
即y=ax2+2ax﹣3a,
∴﹣3a=3,解得a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3;
(2)①證明:當(dāng)x=0時,y=﹣x2﹣2x+3=3,則C(0,3),
∴△OAC為等腰直角三角形,
∴AC=3,
∵AP=t,AQ=2t,
∴=t, ==t,
∴=,
而∠PAQ=∠OAC,
∴△APQ∽△AOC,
∴∠APQ=∠AOC=90°,
∴PQ⊥AC;
②證明:作PF⊥x軸于F,PH⊥EQ于H,如圖2,則PF=AF=AP=t=t,
當(dāng)Q點OA上,OQ=3﹣2t,則Q(2t﹣3,0),H(2t﹣3,t),
當(dāng)Q點在OB上,OQ=2t﹣3,則Q(2t﹣3,0),H(2t﹣3,t),
∵PE=PQ,
∴EH=QH=t,
∴E(2t﹣3,2t),
把E(2t﹣3,2t)代入y=﹣x2﹣2x+3得﹣(2t﹣3)2﹣2(2t﹣3)+3=3,解得t1=0(舍去),t2=,
∴t的值為;
③解:存在.
如圖3,∵四邊形AQDP為平行四邊形,
∴DQ=AP=t,∠DQO=∠PAQ=45°,
而OQ=OD=3﹣2t,
∴t=(3﹣2t),解得t=1,
∴D(0,1).
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【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸,y軸分別交于點(2,0),點(0,3).有下列結(jié)論:①圖象經(jīng)過點(1,﹣3);②關(guān)于x的方程kx+b=0的解為x=2;③關(guān)于x的方程kx+b=3的解為x=0;④當(dāng)x>2時,y<0.其中正確的是( 。
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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【題目】如圖,AC切⊙O于點C,AB過圓心O交⊙O于點B、D,且AC=BC,若⊙O的半徑為2,圖中陰影部分的面積為 _____________________.
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【題目】如圖,正方形ABCD的面積為64,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為( )
A.6B.8C.9D.12
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【題目】如圖,已知:∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,AB=6,AC=4,則BE=_____.
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【題目】如圖,在扇形OAB中,C是OA的中點,CD⊥OA,CD與弧AB交于點D,以O為圓心,OC的長為半徑作弧CE交OB于點E,若OA=6,∠AOB=120°,則圖中陰影部分的面積為_________(結(jié)果保留π).
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【題目】在江蘇衛(wèi)視《最強大腦》節(jié)目中,搭載百度大腦的小度機器人以3:1的總戰(zhàn)績,斬獲2017年度腦王巔峰對決的晉級資格,人工智能時代已經(jīng)撲面而來.
某商場第一次用11000元購進某款拼裝機器人進行銷售,很快銷售一空,商家又用24000元第二次購進同款機器人,所購進數(shù)量是第一次的2倍,但單價貴了10元.
(1)求該商家第一次購進機器人多少個?
(2)若所有機器人都按相同的標(biāo)價銷售,要求全部銷售完畢的利潤率不低于20%(不考慮其它因素),那么每個機器人的標(biāo)價至少是多少元?
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【題目】進入冬季,空調(diào)再次迎來銷售旺季,某商場用元購進一批空調(diào),該空調(diào)供不應(yīng)求,商家又用元購進第二批這種空調(diào),所購數(shù)量比第一批購進數(shù)量多臺,但單價是第一批的倍.
(1)該商場購進第一批空調(diào)的單價多少元?
(2)若兩批空調(diào)按相同的標(biāo)價出售,春節(jié)將近,還剩下臺空調(diào)未出售,為減少庫存回籠資金,商家決定最后的臺空調(diào)按九折出售,如果兩批空調(diào)全部售完利潤率不低于(不考慮其他因素),那么每臺空調(diào)的標(biāo)價至少多少元?
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【題目】已知:如圖所示,
(1)作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′,并寫出△A′B′C′三個頂點的坐標(biāo).
(2)直接寫出△ABC的面積為______.
(3)在x軸上畫出點P,使PA+PC最小.(不寫作法,保留作圖痕跡)
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