Question

已知AB切⊙O于點(diǎn)B，OA=2

3

，AB=3，弦BC∥OA．
（1）求劣弧BC的長(zhǎng)；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),弧長(zhǎng)的計(jì)算,扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OB，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥AB，在Rt△OAB中利用正弦的定義得sin∠AOB=

3

2

，則∠AOB=60°，可計(jì)算出OB=

3

；再根據(jù)平行線的性質(zhì)由BC∥OA得到∠OBC=∠BOA=60°，則△OBC為等邊三角形，所以∠BOC=60°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧BC的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)扇形的面積公式和利用圖中陰影部分的面積=S_扇形BOC-S_△BOC進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）連結(jié)OB，如圖，
∵AB切⊙O于點(diǎn)B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
在Rt△OAB中，∵OA=2

3

，AB=3，
∴sin∠AOB=

AB

OA

=

3

2 3

=

3

2

，
∴∠AOB=60°，
∴∠A=30°，
∴OB=

1

2

OA=

3

，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠BOA=60°，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴劣弧BC的長(zhǎng)=

60•π• 3

180

=

3

3

π；
（2）圖中陰影部分的面積=S_扇形BOC-S_△BOC
=

60•π•( 3 )2

360

-

3

4

•（

3

）²
=

1

2

π-

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，得到直角三角形．也考查了弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式．