Question

4．如圖，有一塊含30°的直角三角板OAB的直角邊長BO的長恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長相等，把該套三角板放置在平面直角坐標系中，且AB=3，若把含30°的直角三角板繞點O按順時針方向旋轉后，斜邊OA恰好與x軸重疊，點A落在點A′處，則圖中陰影部分的面積為6π-$\frac{27}{4}$（結果保留π）

Answer 1

分析 求出∠AOA′，根據(jù)扇形的面積公式求出扇形AOA′的面積，求出OC、DC長，求出△ODC的面積，根據(jù)：陰影部分的面積即為扇形OAA′的面積減去三角形OCD的面積計算可得．

解答 解：如圖，記45°角的三角板直角頂點為D，

在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，
∴OA=$\frac{AB}{sin∠AOB}$=$\frac{3}{\frac{1}{2}}$=6，
∴OB=OA•cos∠AOB=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
由題意得：∠AOC=60°，
S_扇形AOA′=$\frac{60•π•{6}^{2}}{360}$=6π．
在Rt△OCD中，∠DOC=45°，OC=OB=3$\sqrt{3}$，
∴OD=OC•cos45°=3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
∴S_△ODC=$\frac{1}{2}$OD²=$\frac{1}{2}$×$（\frac{3\sqrt{6}}{2}）^{2}$=$\frac{27}{4}$．
∴S_陰影=S_扇形AOA′-S_△ODC=6π-$\frac{27}{4}$，
故答案為：6π-$\frac{27}{4}$．

點評 本題主要考查扇形面積的計算、解直角三角形的能力，在求陰影部分的面積時，常常是幾個規(guī)則圖形面積的和或差．