Question

19．如圖：已知點(diǎn)A、B是反比例函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$上在第二象限內(nèi)的分支上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)C（0，3），且△ABC滿足AC=BC，∠ACB=90°，則線段AB的長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，根據(jù)角的計(jì)算得出“∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD”，由此證出△ACD≌△CBE；再設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，-$\frac{6}{m}$），由三角形全等找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)解析式中求出m的值，將m的值代入B點(diǎn)坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖所示．

∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥y軸，BE⊥y軸，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD．
在△ACD和△CBE中，由$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{AC=CB}\\{∠ACD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（ASA）．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，-$\frac{6}{m}$）（m＜0），則E（0，-$\frac{6}{m}$），點(diǎn)D（0，3-m），點(diǎn)A（-$\frac{6}{m}$-3，3-m），
∵點(diǎn)A（-$\frac{6}{m}$-3，3-m）在反比例函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$上，
∴3-m=-$\frac{6}{-\frac{6}{m}-3}$，解得：m=-3，m=2（舍去）．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，2），
∴AB=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$$\sqrt{（-3-0）^{2}+（2-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，設(shè)出反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)邊角關(guān)系表示出來(lái)另一點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上得出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后由兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長(zhǎng)度即可．