【題目】已知ABC為等邊三角形,P是直線AC上一點,ADBPD,以AD為邊作等邊ADE(D,E在直線AC異側(cè)).

(1)如圖1,若點P在邊AC上,連CD,且∠BDC=150°,則= ;(直接寫結(jié)果)

(2)如圖2,若點PAC延長線上,DEBCF求證:BF=CF;

(3)在圖2中,若∠PBC=15°,AB=,請直接寫出CP的長

【答案】(1)(2)證明見解析(3)

【解析】

(1)由題意可證ABD≌△ACE,可得BD=CE,ABD=ACE,即可求∠EDC=60°,EDC=90°,則可得的值;

(2)過點CMBDDE于點M,連接CE,由題意可證ABD≌△ACE,可得BD=CE,AEC=ADB=90°,可求∠DEC=EMC=30°,可得MC=EC=BD,

則可證BDF≌△CMF,可得BF=CF;

(3)作∠ABG=BAD,交AD于點G,由題意可求∠ABG=BAG=15°,可得∠BGD=30°,BG=AG,則可得BG=2BD,GD=BD,AD=BD+2BD,根據(jù)勾股定理可求BD=1,AD=2+,即可求AP的長,則可求CP的長.

(1)如圖:連接CE

∵△ABC,ADE是等邊三角形,

AB=AC,AD=AE,DAE=BAC=60°,

∴∠BAD=CAE,且AB=AC,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

BD=CE,ABD=ACE,

∵∠ADB=90°,BDC=150°,ADE=60°,

∴∠EDC=60°,

∵∠BDC=BPC+ACD=BAC+ABD+ACD=60°+ACE+ACD=60°+ECD=150°

∴∠ECD=90°,

tanEDC=,

(2)如圖:過點CMBDDE于點M,連接CE

∵△ABCADE是等邊三角形,

AB=AC,AD=AE,BAC=DAE=60°=ADE=AED,

∴∠BAD=CAE,且AB=AC,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(ASA),

BD=CE,AEC=ADB=90°,

∵∠BDE=ADB+ADE,DEC=AEC-AED,

∴∠BDE=150°,DEC=30°,

MCBD,

∴∠DMC=BDE=150°,

∴∠EMC=30°,

∴∠DEC=EMC,

MC=CE,

BD=CM,且∠BDE=CMD,BFD=CFM,

∴△BDF≌△CMF(AAS),

CF=BF,

(3)如圖:作∠ABG=BAD,交AD于點G

∵∠ABC=60°,PBC=15°,ADBD,

∴∠DAB=15°,

∵∠ABG=BAD,

∴∠ABG=BAG=15°,

∴∠BGD=30°,BG=AG,

BG=2BD,GD=BD,

AD=BD+2BD,

RtABD中,AB2=BD2+AD2

+2=(+2)2 BD2+BD2

BD=1,

AD=2+,

∵∠BAD=15°,BAC=60°,

∴∠DAP=45°,且ADBD,

AP=AD=2+,

CP=AP-AC=AP-AB=2+-(+),

CP=.

故答案為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】小明在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題:

定義:如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常數(shù))與y=a2x2+b2x+c2

(a2≠0,a2,b2,c2是常數(shù))滿足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.求y=-2x2+5x-3函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

小明是這樣思考的:由y=-2x2+5x-3函數(shù)可知,a1=-2,b1=5,c1=-3,根據(jù)a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

請參考小明的方法解決下面的問題:

(1)寫出函數(shù)y=-2x2+5x-3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”;

(2)若函數(shù)y1=x2 x-n與y2=-x2-mx-2互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”,求(m+n)2019的值;

(3)已知函數(shù)y=(x-2)(x+3)的圖像與軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點A、B、C關(guān)于原點的對稱點分別是A1、B1、C1,試證明經(jīng)過點A1、B1、C1的二次函數(shù)與函數(shù)y= (x-2)(x+3)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

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【題目】已知P是⊙O上一點,過點P作不過圓心的弦PQ,在劣弧PQ和優(yōu)弧PQ上分別有動點A、B(不與P,Q重合),連接AP、BP. 若∠APQ=BPQ.

(1)如圖1,當(dāng)∠APQ=45°,AP=1,BP=2時,求⊙O的半徑;

(2)如圖2,選接AB,交PQ于點M,點N在線段PM(不與P、M重合),連接ON、OP,若∠NOP+2OPN=90°,探究直線ABON的位置關(guān)系,并證明.

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【題目】如圖,在路燈下,小明的身高如圖中線段AB所示,他在地面上的影子如圖中線段AC所示,小亮的身高如圖中線段FG所示,路燈燈泡在線段DE上.

1)請你確定燈泡所在的位置,并畫出小亮在燈光下形成的影子.

2)如果小明的身高AB=1.6m,他的影子長AC=1.4m,且他到路燈的距離AD=2.1m,求燈泡的高.

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【題目】如圖,是一座古拱橋的截面圖拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀,當(dāng)水面的寬度為10m橋洞與水面

的最大距離是5m

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你選擇的方案是_____填方案一方案二,或方案三),B點坐標(biāo)是______,求出你所選方案中的拋物線的表達(dá)式;

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【題目】如圖,一次函數(shù)軸于點,交軸于點,且與反比例函數(shù)的圖象交于兩點.

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(2)過點軸于點,過點軸于點,求四邊形的面積;

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(2)求圖象過點A,B的一次函數(shù)的解析式;

(3)在第一象限內(nèi),當(dāng)以上所求一次函數(shù)的圖象在所求反比例函數(shù)的圖象下方時,請直接寫出自變量x的取值范圍.

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