Question

11．閱讀理解：如果兩個正數(shù)a，b，即a＞0，b＞0，有下面的不等式：$\frac{a+b}{2}$$≥\sqrt{ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取到等號我們把$\frac{a+b}{2}$叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把$\sqrt{ab}$叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可表述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最值問題的有力工具．
初步探究：（1）已知x＞0，求函數(shù)y=x+$\frac{4}{x}$的最小值．
問題遷移：（2）學(xué)校準(zhǔn)備以圍墻一面為斜邊，用柵欄為成一個面積為100m²的直角三角形，作為英語角，直角三角形的兩直角邊各為多少時，所用柵欄最短？
創(chuàng)新應(yīng)用：（3）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB經(jīng)點P（3，4），與坐標(biāo)軸正半軸相交于A，B兩點，當(dāng)△AOB的面積最小時，求△AOB的內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x＞0，令a=x，b=$\frac{4}{x}$，利用題中的新定義求出函數(shù)的最小值即可；
（2）設(shè)一直角邊為xm，則另一直角邊為$\frac{200}{x}$m，柵欄總長為ym，根據(jù)題意表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式，利用題中的新定義求出y取得最小值時x的值即可；
（3）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把P坐標(biāo)代入用k表示出b，進(jìn)而表示出A與B坐標(biāo)，確定出OA與OB的長，得出三角形AOB面積，利用題中的新定義求出三角形AOB面積最小時k的值，確定出直角三角形三邊，即可求出三角形AOB內(nèi)切圓半徑．

解答 解：（1）令a=x，b=$\frac{4}{x}$（x＞0），
由a+b≥2$\sqrt{ab}$，得y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{4}{x}$時，即x=2時，函數(shù)有最小值，最小值為2；
（2）設(shè)一直角邊為xm，則另一直角邊為$\frac{200}{x}$m，柵欄總長為ym，
y=x+$\frac{200}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{200}{x}}$=20$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{200}{x}$時，即x=10$\sqrt{2}$m時，y有最小值，即所用柵欄最短；
（3）設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
把P（3，4）代入得：4=3k+b，
整理得：b=4-3k，
∴直線AB的解析式是y=kx+4-3k，
當(dāng)x=0時，y=4-3k；當(dāng)y=0時，x=$\frac{3k-4}{k}$，
即A（0，4-3k），B（$\frac{3k-4}{k}$，0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•OA=$\frac{1}{2}$（4-3k）•$\frac{3k-4}{k}$=12-（$\frac{9}{2}$k+$\frac{8}{k}$），
∵要使△AOB的面積最小，
∴$\frac{9}{2}$k+$\frac{8}{k}$必須最大，
∵k＜0，
∴-k＞0，
∵-$\frac{9}{2}$k-$\frac{8}{k}$≥2$\sqrt{-\frac{9}{2}k•\frac{8}{-k}}$=2×6=12，當(dāng)且僅當(dāng)-$\frac{9}{2}$k=-$\frac{8}{k}$時，取等號，
解得：k=±$\frac{4}{3}$，
∵k＜0，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
即OA=4-3k=8，OB=6，
根據(jù)勾股定理得：AB=10，
設(shè)三角形AOB的內(nèi)切圓的半徑是R，
由三角形面積公式得：$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×6R+$\frac{1}{2}$×8R+$\frac{1}{2}$×10R，
解得：R=2．

點評 此題屬于圓的綜合題，弄清題中新定義“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)”是解本題的關(guān)鍵．