Question

【題目】如圖1，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），同時(shí)將點(diǎn)A，O分別向上平移2個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，C．

（1）求四邊形OABC的面積；

（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使△MOA的面積與四邊形OABC的面積相等？若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2，點(diǎn)P在OA邊上，且∠CBP=∠CPB，Q是AO延長線上一動(dòng)點(diǎn)，∠PCQ的平分線CD交BP的延長線于點(diǎn)D，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過程中，求∠D和∠CQP的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）8（2）M（0，4）或（0，-4）（3）∠CQP=2∠D

【解析】

（1）首先證明四邊形OABC是平行四邊形，理由平行四邊形的面積公式計(jì)算即可；

（2）存在．如圖1中，設(shè)M（0，m），根據(jù)絕對(duì)值方程即可解決問題；

（3）結(jié)論：∠CQP=2∠D．如圖3中，延長CP到K．首先證明∠DPQ=∠DPK，設(shè)∠DPQ=∠DPK=x，∠DCQ=∠DCP=y，構(gòu)建方程組即可解決問題；

（1）如圖1中，由題意B（3，1），C（-1，2），

∴BC∥OA，BC=OA，

∴四邊形ABCO是平行四邊形．

∴S平行四邊形ABCD=4×2=8．

（2）存在．理由：如圖1中，設(shè)M（0，m）

由題意S△AOM=8，

∴×4×|m|=8

∴m=±4，

∴M（0，4）或（0，-4）．

（3）結(jié)論：∠CQP=2∠D．

理由：如圖3中，延長CP到K．

∵BC∥OA，

∴∠CBP=∠DPQ，

∵∠CBP=∠CPB，∠CPB=∠DPK，

∴∠DPQ=∠DPK，設(shè)∠DPQ=∠DPK=x，∠DCQ=∠DCP=y，

則有，

①-2×②得到∠CQP=2∠D．