【題目】如圖,已知CD是△ABC中AB邊上的高,以CD為直徑的⊙O交CA于點(diǎn)E,點(diǎn)G是AD的中點(diǎn).
(1)求證:GE是⊙O的切線;
(2)若AC⊥BC,且AC=8,BC=6,求切線GE的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】試題分析:
(1)連接OE、OG,由已知易證OG是△ACD的中位線,由此可得OG∥AC,結(jié)合OE=OC,由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證得∠EOG=∠DOG,從而可證得△EOG≌△DOG,由此可得∠OEG=∠ODG=90°,即可證得EG是⊙O的切線;
(2)由已知條件易得AB=10,GD是⊙O的切線,則GE=GD,在Rt△ACD和Rt△BCD中,由AC2-AD2=CD2,BC2-BD2=CD2可得AC2-AD2=BC2-BD2,設(shè)BD=x,則AD=10-x,列出方程解得x的值,即可得到AD的長(zhǎng),從而得到GD的長(zhǎng)就可得到GE的長(zhǎng)了.
試題解析:
(1)連接OE,OG;
∵AG=GD,CO=OD,
∴OG是△ACD的中位線,
∴OG∥AC.
∴∠OEC=∠GOE,∠ACD=∠GOD.
∵OE=OC,
∴∠ACD=∠OEC.
∴∠GOD=∠GOE.
∵OE=OD,OG=OG,
∴△OEG≌△ODG.
∴∠OEG=∠ODG=90°.
∴GE是⊙O的切線.
(2)∵AC=8,BC=6,
∴AB==10.
∴OD⊥GD.
∴GD也是圓O的切線.
∴GD=GE.
設(shè)BD=x,則AD=10﹣x,
在Rt△CDA和Rt△CDB中,
由勾股定理得:CD2=82﹣(10﹣x)2,CD2=62﹣x2
∴82﹣(10﹣x)2=62﹣x2
解得x=,
∴AD=10﹣=.
又∵點(diǎn)G是AD的中點(diǎn),
∴GE=GD=AD=.
即切線GE的長(zhǎng)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知AB∥CD,點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn),BE⊥CE于E,
(1)如圖1,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ABE和∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD,垂足為F,求證:∠CEF=∠ABE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,作EG平分∠CEF交DF于點(diǎn)G,作ED平分∠BEF交CD于D,連接BD,若∠DBE+∠ABD=180°,且∠BDE=3∠GEF,求∠BEG的度數(shù)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,BE是∠ABD的平分線,CF是∠ACD的平分線,BE與CF交于G,若∠BDC=140°,∠BGC=110°,則∠A為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,點(diǎn)D為AB 的中點(diǎn).如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.
(1)用含有t的代數(shù)式表示CP.
(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過(guò)1秒后,△BPD與△CQP是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使△BPD與△CQP全等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)為(4,0),同時(shí)將點(diǎn)A,O分別向上平移2個(gè)單位,再向左平移1個(gè)單位,得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)B,C.
(1)求四邊形OABC的面積;
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)M,使△MOA的面積與四邊形OABC的面積相等?若存在這樣一點(diǎn),求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖2,點(diǎn)P在OA邊上,且∠CBP=∠CPB,Q是AO延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),∠PCQ的平分線CD交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,求∠D和∠CQP的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)開(kāi)展“陽(yáng)光體育一小時(shí)”活動(dòng),根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況,決定開(kāi)設(shè)①踢毽子;②籃球;③跳繩;④乒乓球四種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目.為了解學(xué)生最喜歡哪一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,隨機(jī)抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖,依據(jù)圖中信息,得出下列結(jié)論中正確的是( )
A. 本次共調(diào)查300名學(xué)生
B. 扇形統(tǒng)計(jì)圖中,喜歡籃球項(xiàng)目的學(xué)生部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角大小為45°
C. 喜歡跳繩項(xiàng)日的學(xué)生人數(shù)為60人
D. 喜歡籃球項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)為30人
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用長(zhǎng)度一定的不銹鋼材料設(shè)計(jì)成外觀為矩形的框架(如圖①②中的一種).設(shè)豎檔AB=x米,請(qǐng)根據(jù)以上圖案回答下列問(wèn)題:(題中的不銹鋼材料總長(zhǎng)均指各圖中所有黑線的長(zhǎng)度和,所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行)
(1)在圖①中,如果不銹鋼材料總長(zhǎng)度為12米,當(dāng)x為多少時(shí),矩形框架ABCD的面積為3平方米?
(2)在圖②中,如果不銹鋼材料總長(zhǎng)度為12米,當(dāng)x為多少時(shí),矩形框架ABCD的面積S最大?最大面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相較于點(diǎn)O,EF過(guò)點(diǎn)O,且與AD、BC分別相交于E、F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,則四邊形EFCD的周長(zhǎng)是( )
A.16B.14C.12D.10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三角形中,,是上的一點(diǎn),連接平分交的外角的平分線于.
(1)求證:
(2)若,求的度數(shù).
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