Question

11．如圖，在?ABCD中，AB=7，BC=5，sinB=$\frac{4}{5}$，將?ABCD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H，折痕為EF．
（1）點(diǎn)P是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△APD周長(zhǎng)的最小值是12；
（2）求證：△BCE≌△HCF；
（3）求△CEF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，△APD周長(zhǎng)的最小，根據(jù)題意計(jì)算即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等以及折疊的性質(zhì)證明即可；
（3）作EM⊥BC于點(diǎn)M，設(shè)EM=4x，根據(jù)正弦的定義用x表示出EC、CM，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵將?ABCD折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C上，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于EF對(duì)稱，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，△APD周長(zhǎng)的最小，
最小值為AF+FD+AD=CF+FD+AD=CD+AD=12，
故答案為：12；
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC，AD=BC，∠BCD=∠BAD，
由折疊的性質(zhì)可知，∠ADC=∠H，CH=AD，∠ECH=∠BAD
∴∠B=∠H，CH=BC，
∵∠BCD=∠ECH，
∴∠BCD-∠ECF=∠ECH-∠ECF，
∴∠BCE=∠FCH，
在△BCE和△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠H}\\{CB=CH}\\{∠ECB=∠FCH}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△HCF；
（3）作EM⊥BC于點(diǎn)M，
∵sinB=$\frac{4}{5}$，
∴設(shè)EM=4x，則BE=5x，
由勾股定理得，BM=3x
∴EC=AE=7-5x，CM=5-3x，
在Rt△EMC中，EM²+CM²=EC²
即（4x）²+（5-3x）²=（7-5x）²
解得x=$\frac{3}{5}$，
∴BE=5x=3，BC=5，CE=7-3=4=CF，
∴BE²+EC²=BC²
∴∠BEC=90°
又∵AB∥CD，
∴∠ECF=90°，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$×EC•CF=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱作出最短路徑、掌握翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．