Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC=120°．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．
（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．問：此時(shí)直線ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說明理由．
（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為_________（直接寫出結(jié)果）．
（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚?/span>

∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

Answer 1

【答案】(1) ON平分∠AOC.理由見解析；（2）40或10,（3）∠AOM -∠NOC=30°.理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；

（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠RON=30°，即旋轉(zhuǎn)60°或240°時(shí)ON平分∠AOC，據(jù)此求解；

（3）因?yàn)椤?/span>MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

試題解析：（1）直線ON平分∠AOC．理由：

設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線為OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB，

又∵OM⊥ON，

∴∠MOD=∠MON=90°，

∴∠COD=∠BON，

又∵∠AOD=∠BON（對(duì)頂角相等），

∴∠COD=∠AOD，

∴OD平分∠AOC，

即直線ON平分∠AOC．

（2）∵∠BOC=120°

∴∠AOC=60°，

∴∠BON=∠COD=30°，

即旋轉(zhuǎn)60°時(shí)ON平分∠AOC，

由題意得，6t=60°或240°，

∴t=10或40；

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．