Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A，點B，與y軸負半軸交于點C，且OC＝OB，其中B點坐標為（3，0），對稱軸為直線x＝．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上方有一點P（m，n），連接PA后滿足∠PAB＝∠CAB，記△PBC面積為S，求S與m的函數(shù)關系；

（3）在（2）的條件下，當點P恰好落在拋物上時，將直線BC上下平移，平移后的直線y＝x+t與拋物線交于C'，B'兩點（C'在B'的左側(cè)），若以點C'、B'、P為頂點三角形是直角三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S＝m+9（m＞﹣2）；（3）t的值為19或32．

【解析】

(1)先確定出點A坐標，再用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
(2)先確定出直線AP的解析式，進而用m表示點P的坐標，即可得出結(jié)論；
(3)先確定出點P的坐標，當∠B'PC'=90°時，利用根與系數(shù)的關系確定出B'C'的中點E的坐標，利用B'C'=2PE建立方程求解，當∠PC'B'=90°時，先確定出點G的坐標，進而求出直線C'G的解析式，進而得出點C'的坐標，即可得出結(jié)論．

(1)∵B(3，0)，對稱軸為直線x=，

∴A(﹣2，0)，

∴設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x﹣3)=ax2﹣ax﹣6a，

∵B(3，0)，

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴C(0，﹣3)，

把C(0，﹣3)代入y=a(x+2)(x﹣3)，

∴﹣6a=﹣3，

∴a=，

∴拋物線的解析式為；

(2)如圖1，射線AP與y軸的交點記作點C'，

∵∠BAC=∠BAC'，OA=OA，∠AOC=∠AOC'=90°，

∴△AOC≌△AOC'(ASA)，

∴OC'=OC=3，

∴C'(0，3)，

∵A(﹣2，0)，

設直線AP的解析式為，

∵，

解得：，

∴直線AP的解析式為y=x+3，

∵點P(m，n)在直線AP上，

∴n=m+3，

∵B(3，0)，C(0，﹣3)，

直線BC的解析式為，

∴，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

過點P作y軸的平行線交BC于F，

∴F(m，m﹣3)，

∴PF=m+3﹣(m﹣3)=m+6，

∴S=S△PBC=OBPF=×3(m+6)=m+9(m＞﹣2)；

(3)由(1)知，拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3①

由(2)知，直線AP的解析式為y=x+3②，

聯(lián)立①②解得，或，

∴P(6，12)，

如圖2，

當∠C'PB'=90°時，取B'C'的中點E，連接PE，

則B'C'=2PE，即：B'C'2=4PE2，

設B'(x1，y1)，C'(x2，y2)，

∵直線B'C'的解析式為y=x+t③，

聯(lián)立①③化簡得，x2﹣3x﹣(2t+6)=0，

∴x1+x2=3，x1x2=﹣(2t+6)，

∴點E(，+t)，

B'C'2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2=2(x1﹣x2)2=2[(x1+x2)2﹣4x1x2]

=2[9+4(2t+6)]=16t+66，

而PE2=(6﹣)2+(12﹣﹣t)2=t2﹣21t+，

∴16t+66=4(t2﹣21t+)，

∴t=6(此時，恰好過點P，舍去)或t=19，

當∠P=90°時，延長P交BC于H，交x軸于G，

則∠BHG=90°，

∵OB=CO，∠BOC=90°，

∴∠OBC=45°，

∴∠PGO=45°，

過點P作PQ⊥x軸于Q，則GQ=PQ=12，

∴OG=OQ+GQ=18，

∴點G(18，0)，

∴直線C'G的解析式為y=﹣x+18④，

聯(lián)立①④解得或

∴C'的坐標為(﹣7，25)，

將點C'坐標代入y=x+t中，得25=﹣7+t，

∴t=32，

即：滿足條件的t的值為19或32．