Question

【題目】如圖，點為矩形的對角線上一動點，，，點為邊的中點，則周長的最小值是_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先確定出點P的位置,再求出∠CBD=30°，進而判斷出△BCC是等邊三角形,即可得出結(jié)論．

解：如圖,作點C關(guān)于BD的對稱點C,連接EC交BD于點P,連接PC,

∵點C與點C是關(guān)于BD的對稱點,
∴CP=CP,
∴CP+PE=CP+PE=CE,

在BD上任取異于點P的P，連接PE,PC,CP,
CP+PE=PC+PE>CE,
∴點P就是所要求作的點，EC的長度PE + PC的最小值,

∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°
∵DC=AB=2,
∵tan∠CBD=
∴∠ CBD= 30°,
∴點C和點C關(guān)于BD對稱，設(shè)CC交BD于G,
∴ BD是CC的垂直平分線，連接BC
∴∠CBD=∠CBD=30°, BC=BC,
∴∠ CBC= 60°,
∴△BCC是等邊三角形,
∵點E是BC的中點，∴CE⊥BC,
∴CE=
∴PC+PE=3, ∵E是BC的中點，∴CE=

∴周長的最小值是:PC+PE+CE=3+

故答案為：3+