Question

【題目】如圖，正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)A、B，AB=2，

（1）求k的值；

（2）若反比例函數(shù)y=的圖象上存在一點(diǎn)C，則當(dāng)△ABC為直角三角形，請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）k=2（2）當(dāng)△ABC為直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）

【解析】分析：（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，由點(diǎn)A、B的對稱性可求出OA的值，根據(jù)點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，2a），在Rt△OAD中，通過勾股定理即可求出A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)論；

（2）由點(diǎn)A、B的對稱性，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C在反比例函數(shù)上，設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，），分△ABC三個角分別為直角來考慮，利用“兩直線垂直斜率之積為-1（斜率都存在）”求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

詳解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，如圖1所示．

由題意可知點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，且AB=2，∴OA=OB=．

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，2a），在Rt△OAD中，∠ADO=90°，由勾股定理得：

a2+（2a）2=（）2，解得：a=1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）．

把A（1，2）代入y=中得：2=，解得：k=2．

（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，），

△ABC為直角三角形分三種情況：

①∠ABC=90°，則有AB⊥BC，=﹣1，即n2+5n+4，

解得：n1=﹣4，n2=﹣1（舍去），此時點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，﹣）；

②∠BAC=90°，則有BA⊥AC，=﹣1，即n2﹣5n+4=0，

解得：n3=4，n4=1（舍去），此時點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，）；

③∠ACB=90°，則有AC⊥BC，=﹣1，即n2=4，解得：n5=﹣2，n6=2，

此時點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）或（2，1）．綜上所述：當(dāng)△ABC為直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）．