Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿CB邊從點(diǎn)C開(kāi)始以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤5）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
（2）分別過(guò)點(diǎn)A，B作直線CP的垂線，垂足為D，E，設(shè)AD+BE=y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；并求當(dāng)t為何值時(shí)，y有最大值．
（3）直接寫(xiě)出PQ中點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，

∴BC=10cm．

由題意可知，PA=2t，BP=10﹣2t，CQ=t，BQ=6﹣t．

①若 ，則△BQP∽△BCA．

即 ．解得t=0；

②若 ，則△BQP∽△BAC．

即 ．解得t= ．

故當(dāng)t=0或t= 時(shí)，以P，Q，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似

（2）

解：如圖1，作PF⊥AC，垂足為F．

∴△APF∽△ABC．

∴ ，即 ，

解得PF= ，AF= ．

∴CF=8﹣ ，

∴CP= =2 ，

∵S△APC= CPAD= PFAC= 8= ，

∴AD= ．

同理BE= ．

∴y=AD+BE= + = = ，

y= = ，當(dāng)t= 時(shí)，y的最大值為10cm

（3）

解：如圖2，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

依題意，可知0≤t≤5，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（4，0）；

當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（0，5.5），設(shè)直線M1M2的解析式為y=kx+b，

∴ ∴ ，

∴直線M1M2的解析式為y=﹣ x+ ．

由（2）知點(diǎn)Q（0，t），P（8﹣ ， ），

∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ中點(diǎn)M3的坐標(biāo)為（4﹣ ， ），

把x=4﹣ ，代入y=﹣ x+ ，得y= ，

∴點(diǎn)M3在M1M2直線上，

∴線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 = cm．

【解析】（1）根據(jù)勾股定理得到BC=10，根據(jù)已知條件得到PA=2t，BP=10﹣2t，CQ=t，BQ=6﹣t．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論；（2）如圖1，作PF⊥AC，垂足為F．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PF= ，AF= ．求得CF=8﹣ ，根據(jù)勾股定理得到CP= =2 ，根據(jù)三角形的面積即可得到結(jié)論；（3）如圖2，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意，可知0≤t≤5，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（4，0）；當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（0，5.5），求得直線M1M2的解析式為y=﹣ x+ ．根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識(shí)，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法，以及對(duì)勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．