【題目】如圖,已知拋物線y=x2+x﹣4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)連接BC,P是線段BC上方拋物線上的一動點(diǎn),過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H,當(dāng)PH長度最大時(shí),在△APB內(nèi)部有一點(diǎn)M,連接AM、BM、PM,求AM+BM+PM的最小值.
(2)若點(diǎn)D是OC的中點(diǎn),將拋物線y=x2+x﹣4沿射線AD方向平移個(gè)單位得到新拋物線y′,C′是拋物線y′上與C對應(yīng)的點(diǎn),拋物線y'的對稱軸上有一動點(diǎn)N,在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)S,使得C′、N、B、S為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,請直接寫出點(diǎn)S的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)AM+BM+PM=;(2)存在,點(diǎn)S的坐標(biāo)為:S1 (,﹣3+),S2 (,﹣3﹣),S3(,),S4(,).
【解析】
(1)待定系數(shù)法求直線BC解析式,設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m,用含m的代數(shù)式表示PQ,再根據(jù)PH與PQ的關(guān)系得到PH最大時(shí),m的值,將△PMB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△P′M′B,連接MM′,過點(diǎn)P′作P′R⊥x軸于點(diǎn)R,線段AP′即為AM+BM+PM的最小值;
(2)C′、N、B、S為頂點(diǎn)的四邊形是矩形可以根據(jù)C′B分別作為矩形對角線或邊分類進(jìn)行討論:①當(dāng)C′B為矩形對角線;②當(dāng)C′B為矩形的邊,C′B⊥C′N時(shí);③當(dāng)C′B為矩形的邊,C′B⊥BN時(shí).先求出點(diǎn)N坐標(biāo)后再根據(jù)平移規(guī)律求S坐標(biāo).
(1)在拋物線y=﹣x2+x﹣4中,令x=0,得y=﹣4,
∴C(0,﹣4).
令y=0,得=﹣x2+x﹣4=0,解得:x1=,x2=4,
∴A(,0),B(4,0),
∴BC==8.
如圖1,
過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)E交BC于點(diǎn)Q,則PQ∥y軸,
∴∠PQH=∠BCO,
∵PH⊥BC,
∴∠PHQ=∠BOC=90°,
∴△PQH∽△BCO,
∴===,∴PH=PQ,
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,將B(4,0),C(0,﹣4)代入得,解得
∴直線BC解析式為y=x﹣4,
設(shè)P(m,+m﹣4),Q(m,m﹣4),則PQ=+m,
∵<0,0<m<4,
∴當(dāng)m=2時(shí),PQ有最大值,此時(shí)PH=PQ有最大值,
∴P(2,2),
將△PMB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△P′M′B,連接MM′,過點(diǎn)P′作P′R⊥x軸于點(diǎn)R,
∵tan∠PBE===,∴∠PBE=30°,
∴∠P′BR=180°﹣120°﹣30°=30°,P′B=PB=4,
則P′(6,2),AP′==,
∴AM+BM+PM=AM+MM′+PM≥AP′=;
(2)存在.如圖2,設(shè)N(,n),
∵D(0,﹣2),∴AD==,
∴拋物線y=﹣x2+x﹣4沿射線AD方向平移個(gè)單位實(shí)際是向左平移個(gè)單位,向下平移2個(gè)單位,
∴C′(﹣,﹣6),新拋物線y′=,
①當(dāng)C′B為矩形對角線,點(diǎn)N在C′B下方時(shí),易求直線C′B解析式為y=x﹣,
∴矩形對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣3),
∵NS=C′B=,
∴N1 (,﹣3﹣),S1 (,﹣3+),
N2 (,﹣3+),S2 (,﹣3﹣),
②當(dāng)C′B為矩形的邊,C′B⊥C′N時(shí),由C′N2+C′B2=BN2可得:
+(﹣6﹣n)2++(﹣6﹣0)2
=+(0﹣n)2,
解得:n=﹣∴N3(,﹣),
∵C′N∥BS,
∴S3(,);
③當(dāng)C′B為矩形的邊,C′B⊥BN時(shí),由BN2+C′B2=C′N2可得:
+(n﹣0)2++(﹣6﹣0)2
=+(﹣6﹣n)2,
解得:n=
∴N4(,).
∵BN∥C′S,
∴S4(,);
綜上所述,點(diǎn)S的坐標(biāo)為:S1 (,﹣3+),S2 (,﹣3﹣),S3(,),S4(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣2x2+8x﹣6與x軸交于點(diǎn)A、B,把拋物線在x軸及其上方的部分記作C1,將C1向右平移得C2,C2與x軸交于點(diǎn)B,D.若直線y=x+m與C1、C2共有3個(gè)不同的交點(diǎn),則m的取值范圍是( )
A. ﹣2<m< B. ﹣3<m<﹣ C. ﹣3<m<﹣2 D. ﹣3<m<﹣
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:給定一個(gè)矩形,如果存在另一個(gè)矩形,它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半,則這個(gè)矩形是給定矩形的“減半”矩形.如圖,矩形是矩形的“減半”矩形.
請你解決下列問題:
(1)當(dāng)矩形的長和寬分別為,時(shí),它是否存在“減半”矩形?請作出判斷,并說明理由.
(2)邊長為的正方形存在“減半”正方形嗎?如果存在,求出“減半”正方形的邊長;如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,△ABC中AB=AC,AE是角平分線,BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過B、M兩點(diǎn)的⊙O交BC于G,交AB于點(diǎn)F,F(xiàn)B恰為⊙O的直徑.
(1)求證:AE與⊙O相切;
(2)當(dāng)BC=6,cosC=,求⊙O的直徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】重慶一中各校區(qū)的中考體育學(xué)科考試在四月中旬圓滿結(jié)束,在長期備戰(zhàn)體考的過程中,學(xué)生的身體素質(zhì)也在悄然發(fā)生變化.某體能測試機(jī)構(gòu)將我校初三學(xué)生在體育測試中的成績轉(zhuǎn)換成彈跳力和臂力兩項(xiàng)指標(biāo)(百分制)作為體能測試成績,并根據(jù)數(shù)據(jù)分析研究如何進(jìn)一步提高學(xué)生的身體素質(zhì).
數(shù)據(jù)收集該機(jī)構(gòu)計(jì)劃選取100名學(xué)生的體能測試成績作為樣本,提供了以下三種抽樣調(diào)查方法:
A.抽取初三年級皇冠校區(qū)的100名學(xué)生的體能測試成績組成樣本
B.抽取全年級體育成績較好的學(xué)生共100名學(xué)生的體能測試成績組成樣本
C.從全年級中隨機(jī)選取男、女各50名學(xué)生的體能測試成績組成樣本
數(shù)據(jù)整理與描述
a.?dāng)?shù)據(jù)分成5組:90≤x≤100,80≤x<90,70≤x<80,60≤x<70,50≤x<60,其中90分以上為優(yōu)秀.彈跳力成績統(tǒng)計(jì)表和臂力成績頻數(shù)分布直方圖如下:
彈跳力成績 | 劃記 | 人數(shù) |
90≤x≤100 | p | |
80≤x<90 | 正正正正正正丅 | 37 |
70≤x<80 | 正正正正正 | 23 |
60≤x<70 | 正一 | 6 |
50≤x<60 | 正 | 5 |
合計(jì) | 100 | 100 |
(彈跳力成績統(tǒng)計(jì)表)
b.臂力成績在70≤x<80這一組的具體分?jǐn)?shù)如下:
70 71 71 71.5 72 73 73.5 74 74 74
74.5 74.5 75 75.5 75.5 76 76 77 78 79
c.彈跳力和臂力兩項(xiàng)指標(biāo)成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率統(tǒng)計(jì)如下:
體能指標(biāo) | 平均數(shù)(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | 優(yōu)秀率 |
彈跳力 | 82.5 | 89 | 83 | m |
臂力 | 77 | n | 81 | 21% |
數(shù)據(jù)分析根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)上述三種抽樣方法中,你認(rèn)為最合理的是 (填字母);
(2)補(bǔ)全臂力成績頻數(shù)分布直方圖,并整理數(shù)據(jù)得,m= ,n= ;
(3)在此次測試中,某學(xué)生的彈跳力成績?yōu)?/span>87分,臂力成績?yōu)?/span>78分,這名學(xué)生成績排名更靠前的指標(biāo)是 (填“彈跳力”或“臂力”),理由是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校今年組織學(xué)生參加志愿者活動,活動分為甲、乙、丙三組進(jìn)行.下面的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖反映了學(xué)生參加活動的報(bào)名情況,請你根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)若在參加活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生,則抽到乙組學(xué)生的概率是
(2)今年參加志愿者共 人,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)學(xué)校兩年前參加志愿者的總?cè)藬?shù)是810人,若這兩年的年增長率相同,求這個(gè)年增長率.(精確到1%)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的盒子中裝有4張卡片.4張卡片的正面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,這些卡片除數(shù)字外都相同,將卡片攪勻.
(1)從盒子任意抽取一張卡片,恰好抽到標(biāo)有奇數(shù)卡片的概率是: ;
(2)先從盒子中任意抽取一張卡片,再從余下的3張卡片中任意抽取一張卡片,求抽取的2張卡片標(biāo)有數(shù)字之和大于4的概率(請用畫樹狀圖或列表等方法求解).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了減少霧霾的侵狀,某市環(huán)保局與市委各部門協(xié)商,要求市民在春節(jié)期間禁止燃放煙花爆竹,為了征集市民對禁燃的意見,政府辦公室進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查意見表設(shè)計(jì)為:“滿意““一般””無所謂””反對”四個(gè)選項(xiàng),調(diào)查結(jié)果匯總制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)提供的信息解答下面的問題.
(1)參與問卷調(diào)查的人數(shù)為 .
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中的m= ,n= .補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若本市春節(jié)期間留守市區(qū)的市民有32000人,請你估計(jì)他們中持“反對”意見的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們在學(xué)生中開展“了解校訓(xùn)意義”的調(diào)查活動.采取隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行問卷調(diào)查.問卷調(diào)查的結(jié)果分為、、、四類.類表示非常了解;類表示比較了解;類表示基本了解;類表示不太了解.(要求每位同學(xué)必須選并且只能選擇一項(xiàng))統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理如表:
類別 | 頻數(shù) | 頻率 |
20 | ||
0.3 | ||
11 | 0.22 | |
4 | 0.08 |
(1)表中__________;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求出類同學(xué)數(shù)所對應(yīng)的扇形圓心角為_________度.
(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,請你估計(jì)該校1500名學(xué)生中對校訓(xùn)“非常了解”的人數(shù);
(4)學(xué)校在開展了解校訓(xùn)意義活動中,需要從類的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取2人參加展示活動,求恰好選中甲乙兩人的概率?(請用列表法或是樹狀圖表示)
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