Question

5．如圖1，已知點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，根據(jù)以下思路可以證明四邊形EFGH是平行四邊形：
（1）如圖2，將圖1中的點C移動至與點E重合的位置，F(xiàn)，G，H仍是BC，CD，DA的中點，求證：四邊形CFGH是平行四邊形；
（2）如圖3，在邊長為1的小正方形組成的5×5網(wǎng)格中，點A，C，B都在格點上，在格點上畫出點D，使點C與BC，CD，DA的中點F，G，H組成正方形CFGH；
（3）在（2）條件下求出正方形CFGH的邊長．

Answer 1

分析 （1）連接BD根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CH∥BD，CH=$\frac{1}{2}$BD，同理FG∥BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，由平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)勾股定理得到BD=$\sqrt{5}$，由三角形的中位線的性質(zhì)得到FG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖2，連接BD，∵C，H是AB，DA的中點，
∴CH是△ABD的中位線，
∴CH∥BD，CH=$\frac{1}{2}$BD，
同理FG∥BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，
∴CH∥FG，CH=FG，
∴四邊形CFGH是平行四邊形；

（2）如圖3所示，

（3）解：如圖3，∵BD=$\sqrt{5}$，∴FG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴正方形CFGH的邊長是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．