【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,Rt△AOB的直角邊OAx軸正半軸上,OBy軸負(fù)半軸上,且OA=,OB=1,以點B為頂點的拋物線經(jīng)過點A.

(1)求出該拋物線的解析式.

(2)第二象限內(nèi)的點M,是經(jīng)過原點且平分Rt△AOB面積的直線上一點.若OM=2,請判斷點M是否在(1)中的拋物線上?并說明理由.

(3)P是經(jīng)過點B且與坐標(biāo)軸不平行的直線l上一點.請你探究:當(dāng)直線l繞點B任意旋轉(zhuǎn)(不與坐標(biāo)軸平行或重合)時,是否存在這樣的直線l,在直線l上能找到點P,使△PABRt△AOB相似(相似比不為1)?若存在,求出直線l的解析式;若不存在,說明理由.

【答案】(1)y=x2﹣1(2)點M不在拋物線y=x2﹣1上(3)存在三條直線l:y=﹣x﹣1,y=﹣x﹣1和y=x﹣1,在上述直線l上能找到點P,使Rt△PAB與Rt△AOB相似

【解析】

(1)依題意得到AB的坐標(biāo),根據(jù)B為拋物線的頂點,設(shè)出拋物線的解析式,將A坐標(biāo)代入求出a的值,即可確定出拋物線解析式;
(2)點M不在拋物線上,理由為:設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為C,直線OMAB于點D,由題意得到DAB的中點,得到AD=OD=BD,得到MON=∠AOD=∠OAD=30°,作MN垂直于OC,求出MNON的長,確定出M坐標(biāo),代入拋物線解析式檢驗即可得到結(jié)果;
(3)存在,在Rt△AOB中,AO=BO=1,AB=2,∠ABO=60°,∠BAO=30°,分三種情況考慮:當(dāng)ABP=90°時,若AP1B=60°,則ABP1∽△AOB,由相似得比例,確定出P1的坐標(biāo),再由B坐標(biāo)確定出直線l解析式即可;當(dāng)ABP=60°時,若BAP5=90°,則ABP5∽△OBA,由相似得比例求出P5坐標(biāo),同理確定出直線l解析式;當(dāng)ABP=30°且直線lAB上方時,若P6AB=90°,則ABP6∽△OAB,由相似得比例求出P6坐標(biāo),同理確定出直線l解析式,綜上,得到直線l上能找到點P,使Rt△PABRt△AOB相似時的所有解析式.

(1)依題意得:A(,0),B(0,﹣1),

∵B為拋物線的頂點,

∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2﹣1,

將A坐標(biāo)代入得:3a﹣1=0,即a=,

則拋物線解析式為y=x2﹣1;

(2)點M不在拋物線y=x2﹣1上,理由為:

設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為C,直線OM交AB于點D,作MN⊥OC于點N,

由題意得:D為AB的中點,即OD=AD=BD,

∴∠MON=∠AOD=∠OAD=30°,

在Rt△OMN中,OM=2,

∴MN=1,ON=,即M(﹣,1),

∵y=×(﹣2﹣1=0≠1,

∴點M不在拋物線y=x2﹣1上;

(3)存在,在Rt△AOB中,AO=,BO=1,AB=2,∠ABO=60°,∠BAO=30°,

分三種情況考慮:

①當(dāng)∠ABP=90°時,若∠AP1B=60°,則△ABP1∽△AOB,

=,即BP1==

∴OP1=,即P1(﹣,0),[這里也利用求出P2(﹣,2)或P3,﹣2)或P4,﹣4)],

設(shè)直線l解析式為y=kx+b,將B與P1坐標(biāo)代入得:

解得:,

此時直線l解析式為y=﹣x﹣1;

②當(dāng)∠ABP=60°時,若∠BAP5=90°,則△ABP5∽△OBA,

=,即BP5==4,

過P5作P5C⊥y軸于點G,在Rt△BGP5中,∠P5BG=60°,

∴P5G=2,BG=2,即P5(2,﹣3),

同理求出直線l解析式為y=﹣x﹣1;

③當(dāng)∠ABP=30°且直線l在AB上方時,若∠P6AB=90°,則△ABP6∽△OAB,

=,即BP6==,

過P6作P6H⊥y軸于點H,在Rt△BP6H中,∠P6BH=30°,

∴P6H=,BH=2,

∴P6,1),

同理得到直線l解析式為y=x﹣1,

綜上,存在三條直線l:y=﹣x﹣1,y=﹣x﹣1和y=x﹣1,在上述直線l上能找到點P,使Rt△PAB與Rt△AOB相似.

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