Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，H是AD中點(diǎn)，AB=BC=CD=

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AD，E在AB延長(zhǎng)線上，且BE=FH，聯(lián)結(jié)EH并延長(zhǎng)AF于點(diǎn)G，求證：AE²=EH•EG．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰梯形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：首先證明四邊形CBHD是平行四邊形，則可以證得△ABH是等邊三角形，然后證明△EBH≌△FHA，從而證明∠EGA=∠EAH，則△EAH∽△EGA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等證得．

解答：證明：∵AB=BC=CD=

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AD，HD=HA，
∴BC∥DH，BC=DH，
∴四邊形CBHD是平行四邊形，
∴BH=DC=AB=AH，
∴△ABH是等邊三角形，
∴∠ABH=∠AHB=∠BHA=60°，
∴∠EBH=∠FHA．
則在△EBH和△FHA中，

BE=FH ∠EBH=∠FHA BH=AH

，
∴△EBH≌△FHA（SAS），
∴∠FAH=∠EHB，
∵∠EHA=∠HGA+∠HAF，
∴∠EGA=60°=∠EAH，∠E=∠E，
∴△EAH∽△EGA，
∴

EA

EG

=

EH

EA

，
∴AE²=EH•EG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，證明等積式的問(wèn)題，常用的方法是證明三角形相似．