Question

14．某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，出于營銷考慮，要求每本紀念冊的售價不低于20元且不高于28元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y（本）與每本紀念冊的售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系：當銷售單價為22元時，銷售量為36本；當銷售單價為24元時，銷售量為32本．
（1）請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時，每本紀念冊的銷售單價是多少元？
（3）設(shè)該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單價定為多少元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)y=kx+b，根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法確定出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)題意結(jié)合銷量×每本的利潤=150，進而求出答案；
（3）根據(jù)題意結(jié)合銷量×每本的利潤=w，進而利用二次函數(shù)增減性求出答案．

解答 解：（1）設(shè)y=kx+b，
把（22，36）與（24，32）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{22k+b=36}\\{24k+b=32}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=80}\end{array}\right.$，
則y=-2x+80；

（2）設(shè)當文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時，每本紀念冊的銷售單價是x元，
根據(jù)題意得：（x-20）y=150，
則（x-20）（-2x+80）=150，
整理得：x²-60x+875=0，
（x-25）（x-35）=0，
解得：x₁=25，x₂=35，
∵20≤x≤28，
∴x=35（不合題意舍去），
答：每本紀念冊的銷售單價是25元；

（3）由題意可得：
w=（x-20）（-2x+80）
=-2x²+120x-1600
=-2（x-30）²+200，
此時當x=30時，w最大，
又∵售價不低于20元且不高于28元，
∴x＜30時，y隨x的增大而增大，即當x=28時，w_最大=-2（28-30）²+200=192（元），
答：該紀念冊銷售單價定為28元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大，最大利潤是192元．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，正確利用銷量×每本的利潤=w得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．