Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+6分別與x軸、y軸交于點A，B．當點P在線段AB（點P不與A，B重合）上運動時，在坐標系內(nèi)存在一點N，使得以O，B，P，N為頂點的四邊形為菱形．請直接寫出N點坐標_____．

Answer 1

【答案】（﹣4，3），（，），（，﹣）．

【解析】

直接考慮以O，B，P，N為頂點的菱形中的數(shù)量關系比較復雜,不妨根據(jù)菱形的性質(zhì),它的一半為等腰三角形,則討論三邊有任意兩邊相等,分三種情況: BP＝OP, OP＝OB, BP＝OB,再根據(jù)坐標系中任意兩點間的距離公式列出等式解答即可.

解：∵直線y＝﹣ x+6分別與x軸、y軸交于點A，B，

∴A（8，0），B（0，6）．

分三種情況：

①如圖所示，以OB為菱形OPBN的對角線，點P與點N關于OB對稱，

由BP＝OP可得，∠PBO＝∠POB，

根據(jù)∠PBO+∠PAO＝∠POB+∠POA＝90°，可得∠POA＝∠PAO，

∴PO＝PA，

∴P是AB的中點，即P（4，3），

∴N（﹣4，3）；

②如圖所示，以PB為菱形OPBN的對角線，設P（n，﹣ n+6），

∵四邊形OPNB為菱形，B（0，6），

∴OP＝OB＝6＝，

解得：n＝或n＝0（舍去），

∴點P（，），

∴點N（，），即N（，）；

③如圖所示，以OP為菱形BPNO的對角線，設P（m，﹣m+6）

∵四邊形ONPB為菱形, B（0，6），

∴BP＝OB＝6＝，

解得m＝，

∴P（，），

∴N（，），即N（，﹣），

綜上所述，N點坐標為（﹣4，3），（，），（，﹣）．

故答案為：（﹣4，3），（，），（，﹣）．