Question

已知∠AOB=90°，在∠AOB的角平分線OM上有一點C，且OC=a，將一塊三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）相交于點D、E，△OCD的面積記作S₁，△OCE的面積記作S₂．
（1）當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時，如圖1，則S₁+S₂的值（用a表示）=

 

；
（2）當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，如圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，S₁、S₂之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD=CE，然后判斷出四邊形OECD是正方形，再根據(jù)正方形的面積公式列式計算即可得解；
（2）過點C作CF⊥OA于F，作OG⊥OB于G，同（1）可得CF=CG，根據(jù)同角的余角相等求出∠DCF=∠ECG，再利用“角邊角”證明△CDF和△CEG全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S_△CDF=S_△CEG，再根據(jù)圖形表示出這兩個三角形的面積列出方程整理即可得解．

解答：解：（1）∵CD⊥OA，∠DCE=90°，∠AOB=90°，
∴四邊形OECD是矩形，
∴CE⊥OB，
又∴點C是∠AOB的角平分線的一點，
∴CD=CE，
∴四邊形OECD是正方形，
∴S₁+S₂=a²；
故答案為：a²；

（2）如圖，過點C作CF⊥OA于F，作OG⊥OB于G，
同（1）可得CF=CG，
∵∠DCF+∠DCG=∠ECG+∠DCG=90°，
∴∠DCF=∠ECG，
在△CDF和△CEG中，

∠DCF=∠ECG CF=CG ∠CFD=∠CGE=90°

，
∴△CDF≌△CEG（ASA），
∴S_△CDF=S_△CEG，
如圖2，S_△CDF=

1

2

a²-S₁，S_△CEG=S₂-

1

2

a²，
所以，

1

2

a²-S₁=S₂-

1

2

a²，
所以，S₁+S₂=a²；
如圖3，S_△CDF=

1

2

a²+S₁，S_△CEG=S₂-

1

2

a²，
所以，

1

2

a²+S₁=S₂-

1

2

a²，
所以，S₂-S₁=a²．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的正方形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于（2）根據(jù)圖象利用全等三角形的面積相等列出方程．