Question

四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線(xiàn)CF于點(diǎn)F，AB=4cm，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：

分析：作AB的中點(diǎn)G，連接GE，證得△AGE≌△ECF，得出EF=AE，進(jìn)一步利用勾股定理解決問(wèn)題．

解答：解：如圖，

作AB的中點(diǎn)G，連接GE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4cm∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵點(diǎn)G是A B的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，
∴AG=EC=BG=BE=2cm，
∴△BGE是等腰直角三角形．∠AGE=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
又∵EF交正方形外角的平分線(xiàn)CF于點(diǎn)F，
∴∠ECF=135°，
∴∠ECF=∠AGE，
在△AGE和△ECF中，

∠BAE=∠FEC AG=EC ∠AGE=∠ECF

∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴EF=AE，
在Rt△ABE中，AE=

AB2+BE2

=

42+22

=

20

=2

5

cm．
∴EF═2

5

cm．

點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，注意結(jié)合圖形，靈活作出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題．