Question

5．如圖，在?ABCD中，BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD，且BE與CE相交于AD上同一點(diǎn)，若BE=12cm，CE=5cm．
（1）試判斷△BCE的形狀，并求BC的長(zhǎng)；
（2）求證：點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)；
（3）求AB的長(zhǎng)；
（4）求?ABCD的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)在?ABCD中，BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD，可以得到∠BEC的度數(shù)，從而可以判斷△BCE的形狀，根據(jù)BE=12cm，CE=5cm，可以求得BC的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)?ABCD中，BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD，進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，從而可以證明結(jié)論成立；
（3）根據(jù)題意和（1）（2）小題的結(jié)果，可以得到AB的長(zhǎng)；
（4）由題意可以求得?ABCD的周長(zhǎng)，要求?ABCD的面積只要求出△BEC的面積即可，如果以BC做底邊則△BEC和?ABCD是同底等高的，由BE=12cm，CE=5cm，∠BEC=90°，從而可以解答本題．

解答 解：（1）△BCE是直角三角形，
理由：∵在?ABCD中，BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BCE是直角三角形；
∵∠BEC=90°，BE=12cm，CE=5cm，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}=13$cm；
（2）證明：∵在?ABCD中，BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD，
∴AB=CD，AD∥BC，∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD，
∴∠AEB=∠EBC，∠BCE=∠CED，
∴∠ABE=∠AEB，∠CED=∠ECD，
∴AB=AE，DE=DC，
∵AB=DC，
∴AE=DE，
∴點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)；
（3）∵在?ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，BC=13cm，
∴AD=BC=13cm，
由（2）知，AB=$\frac{1}{2}$AD，
∴AB=6.5cm；
（4）∵在?ABCD中，AB=CD=6.5cm，AD=BC=13cm，
∴?ABCD的周長(zhǎng)是：6.5+13+6.5+13=39cm，
∵△BEC是直角三角形，BE=12cm，CE=5cm，∠BEC=90°，
∴△BEC的面積是：12×5÷2=30cm²，
∴?ABCD的面積是：2×30=60cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用勾股定理和數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．