Question

如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，E是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交于AE的延長(zhǎng)線于F，連接BF．
（1）求證：CF=BD；
（2）若CA=CB，∠ACB=90°，試判斷四邊形CDBF的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）由CF與AB平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，再由E為CD中點(diǎn)，得到CE=DE，利用AAS得到三角形ECF與三角形ADE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=CF，而CD為AB邊的中線，得到AD=BD，等量代換即可得證；
（2）四邊形CDBF為正方形，理由為：由第一問(wèn)的結(jié)論CF=BD，以及CF與BD平行，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到CDBF為平行四邊形，由CA=CB，CD為AB邊上的中線，利用三線合一得到CD垂直于AB，即∠CDB為直角，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=BD，即可得證．

解答：（1）證明：∵CF∥AB，
∴∠CFE=∠DAE，∠FCE=∠ADE，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴CE=DE，
在△ECF和△EDA中，

∠CFE=∠DAE ∠FCE=∠ADE CE=DE

，
∴△ECF≌△DEA（AAS），
∴CF=AD，
∵AD=BD，
∴CF=BD；
（2）四邊形CDBF為正方形，理由為：
∵CF=BD，CF∥BD，
∴四邊形CDBF為平行四邊形，
∵CA=CB，CD為AB邊上的中線，
∴CD⊥AB，即∠BDC=90°，
∵等腰直角△ABC中，CD為斜邊上的中線，
∴CD=

1

2

AB，即CD=BD，
則四邊形CDBF為正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．