【題目】如圖1,在邊長為4的菱形ABCD中,AC為其對角線,ABC=60°點M、N是分別是邊BC、邊CD上的動點,且MB=NC.連接AM、AN、MN.MN交AC于點P.

(1)AMN是什么特殊的三角形?說明理由.并求其面積最小值;

(2)求點P到直線CD距離的最大值;

(3)如圖2,已知MB=NC=1,點E、F分別是邊AM、邊AN上的動點,連接EF、PF,EF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)等邊三角形,理由參見解析,3;(2);(3).

【解析】

試題分析:(1)AMN是等邊三角形,AMBC時面積最。灰C明AMB≌△ANC,推出AM=AN,BAM=CAN即可解決問題.(2)如圖2中,當AMBC時,點P到CD距離最大.作PECD于E.(3)如圖3中,作點P關(guān)于AN的對稱點為K,過點K做AM的垂線,交AN為F,交AM為E,此時,EF+PF最短,連接AK、作AGMN于G,MHAB于H.首先求出AM、AG的長,再證明AGP≌△KEA,推出KE=AG即可.

試題解析:(1)如圖1中,

ABCD是菱形,ABC=60°,∴△ABC為等邊三角形,在AMB和ANC中,AB=AC,B=ACN=60°,BM=NC,∴△AMB≌△ANC,AM=AN,BAM+MAC=MAC+NAC=60°,∴∠MAN=60°,∴△AMN為等邊三角形,當AMBC時,AMN的邊長最小,面積最小,此時AM=MN=AN=2,SAMN=(22=3;(2)如圖2中,

當AMBC時,點P到CD距離最大.作PECD于E.理由:由(1)可知AMN是等邊三角形,當AMBC時,AMN的邊長最小,此時PA長最小,PC的長最大,點P到直線CD的距離最大,BM=MC=2,CMP=30°MPC=90°,PC=MC=1,在RtPCE中,∵∠CPE=30°,PC=1,EC=PC=,PE==點P到直線CD距離的最大值為;(3)如圖3中,作點P關(guān)于AN的對稱點為K,過點K做AM的垂線,交AN為F,交AM為E,此時,EF+PF最短,由于對稱,PF=KF,EF為垂線段(垂線段最短).

連接AK、作AGMN于G,MHAB于H.在RtBMH中,BM=1,BMH=30°,BH=,HM=AH=,AM==,∵△AMN是等邊三角形,AG=∵∠APG=PCM+PMC=60°+PMC,∵∠PMC+PCM+CPM=180°,NAP+ANP+APN=180°,ANP=PCM=60°,APN=CPM,∴∠CMP=NAP=NAK,∵∠EAK=EAN+NAK=60°+NAK,∴∠APG=EAK,∵∠AGP=AEK=90°,AP=AK,∴△AGP≌△KEA,KE=AG=EF+PF的最小值為

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