如圖,△ABC中,∠BAC=90°,延長(zhǎng)BA至D,使AD=
1
2
AB,點(diǎn)E、F分別是邊BC、AC的中點(diǎn).
(1)判斷四邊形DBEF的形狀并證明;
(2)過點(diǎn)A作AG⊥BC交DF于G,求證:AG=DG.
考點(diǎn):等腰梯形的判定,三角形中位線定理,等腰梯形的性質(zhì)
專題:
分析:(1)利用梯形的判定首先得出四邊形DBEF為梯形,進(jìn)而得出四邊形HFEB是平行四邊形,得出BE=FD進(jìn)而得出答案;
(2)利用四邊形DBEF為等腰梯形,得出∠B=∠D,利用AG∥BG,∠B=∠DAG,得出答案.
解答:(1)解:四邊形DBEF為等腰梯形,
理由如下:
  如圖,過點(diǎn)F作FH∥BC,交AB于點(diǎn)H,
∵FH∥BC,點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),
∴AH=BH=
1
2
AB,EF∥AB,
顯然EF<AB<AD,∴EF≠AD,
∴四邊形DBEF為梯形,
∵AD=
1
2
AB,
∴AD=AH,
∵CA⊥AB,
∴CA是DH的中垂線,
∴DF=FH,
∵FH∥BC,EF∥AB,
∴四邊形HFEB是平行四邊形,
∴FH=BE,
∴BE=FD,
故四邊形DBEF為等腰梯形;

(2)證明:∵四邊形DBEF為等腰梯形,
∴∠B=∠D,
∵AG∥BG,∠B=∠DAG,
∴∠D=∠DAG,
∴AG=DG.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了等腰梯形的判定以及其性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí),得出BE=FD是解題關(guān)鍵.
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