Question

已知拋物線y=Ax 2 +Bx+C與y軸交于點(diǎn)A（0，3），與x軸分別交于B（1，0）、C（5，0）兩點(diǎn).

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D為線段OA的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線DC的解析式；

（3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A.求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長.

（4）若點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，4），Q為x軸上一點(diǎn)，△ONQ為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)。（14分）

 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為 ；（2）當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,1）時(shí)，直線CD的解析式為y= x+1; 當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,2）時(shí)，直線CD的解析式為y= x+2.（3）.（4）Q1（5,0）,Q2（-5,0）,Q3（,Q4（6,0）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，C=3，

所以

解得

所以拋物線解析式為y=x2﹣x+3．

（2）依題意可得OA的三等分點(diǎn)分別為（0，1），（0，2）．

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+B．

當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，直線CD的解析式為y=﹣x+1；

當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，直線CD的解析式為y=﹣x+2．

（3）如圖，由題意，可得M（0，）．

∵點(diǎn)M與點(diǎn)M′關(guān)于x軸的對(duì)稱，

∴點(diǎn)為M′（0，﹣），

∴點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=3的對(duì)稱點(diǎn)為A'（6，3）．

連接A'M'．

根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，A'M'的長就是所求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑的長．

∴A'M'與x軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)，與直線x=3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)．

∴可求得直線A'M'的解析式為y=x﹣．

∴可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）．

由勾股定理可求出．

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑（ME+EF+FA）的長為．（8分）

（4）Q1（5,0）,Q2（-5,0）,Q3（,Q4（6,0）

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合