Question

在等腰Rt△ABC（∠C=90°）內(nèi)取一點(diǎn)P，且AP=AC=a，BP=CP=b，求證：

a2+b2

a2-b2

為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC與點(diǎn)D，作PE⊥AC于點(diǎn)E，可得四邊形PDCE是矩形，有PD=EC，PE=CD，進(jìn)而求得DC=

1

2

BC=

1

2

a，PD=EC=

2- 3

2

a，在Rt△CDP中，根據(jù)勾股定理得出PD²+CD²=CP²，從而得出含有a、b的式子，得出

b2

a2

=2-

3

，即可求得

a2+b2

a2-b2

=

3

．

解答：解：如圖：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC與點(diǎn)D，作PE⊥AC于點(diǎn)E，可得矩形PDCE，有PD=EC，PE=CD，
∵PC=PB，PD⊥BC，
∴DC=DB=

1

2

BC=

1

2

AC=

1

2

a，
∴PE=CD=

1

2

a，Rt△AEP中，AP=AC=a，PE=

1

2

a，
∴AE=

3

2

a，
∴EC=AC-AE=a-

3

2

a=

2- 3

2

a
∴PD=EC=

2- 3

2

a，
Rt△CDP中，PD²+CD²=CP²，
∴(

2- 3

2

a)2+(

a

2

)2=b²，
∴

7-4 3

4

a2+

1

4

a²=b²，
∴

7-4 3 +1

4

a²=b²，
∴(2-

3

)a2=b²
∴

b2

a2

=2-

3

，

a2+b2

a2-b2

=

1+ b2 a2

1- b2 a2

=

1+2- 3

1-(2- 3)

=

3- 3

3 -1

=

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，用a、b表示PD、CD、CP是本題的關(guān)鍵．