Question

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，4），且與直線y=﹣ x+1相交于A、B兩點(diǎn)（如圖），A點(diǎn)在y軸上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（﹣3，0）．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），過(guò)N作NP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)M，求MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)N在何位置時(shí)，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由直線y=﹣ x+1可知A（0，1），B（﹣3， ），又點(diǎn)（﹣1，4）經(jīng)過(guò)二次函數(shù)，

根據(jù)題意得： ，

解得： ，

則二次函數(shù)的解析式是：y=﹣ ﹣ x+1；

（2）解：方法一：設(shè)N（x，﹣ x2﹣ x+1），

則M（x，﹣ x+1），P（x，0）．

∴MN=PN﹣PM

=﹣ x2﹣ x+1﹣（﹣ x+1）

=﹣ x2﹣ x

=﹣ （x+ ）2+ ，

則當(dāng)x=﹣ 時(shí)，MN的最大值為 ；

方法二：設(shè)N（t，﹣ ），

∴M（t，﹣ t+1），

∴MN=Ny﹣My=﹣ + t﹣1，

∴MN=﹣ ，

當(dāng)t=﹣ 時(shí)，MN有最大值，MN=

（3）解：方法一：連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分，

即四邊形BCMN是菱形，

則MN=BC，且BC=MC，

即﹣ x2﹣ x= ，

且（﹣ x+1）2+（x+3）2= ，

解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．

故當(dāng)N（﹣1，4）時(shí)，BM和NC互相垂直平分

方法二：若BM與NC相互垂直平分，則四邊形BCMN為菱形．

∴NC⊥BM且MN=BC= ，

即﹣ = ，

∴t1=﹣1，t2=﹣2，

①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），

∴KNC= =2，

∵KAB=﹣ ，

∴KNC×KAB=﹣1，

∴NC⊥BM．

②t2=﹣2，N（﹣2， ），C（﹣3，0），

∴KNC= = ，KAB=﹣ ，

∴KNC×KAB≠﹣1，此時(shí)NC與BM不垂直．

∴滿足題意的N點(diǎn)坐標(biāo)只有一個(gè)，N（﹣1，4）．

【解析】（1）根據(jù)已知條件拋物線與直線相交于A、B兩點(diǎn)。且點(diǎn)A在y軸上，由此根據(jù)x=0,求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，又有BC⊥x軸，將x=-4代入一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別代入二次函數(shù)解析式，建立方程組求解即可。
（2）抓住已知條件點(diǎn)N在AB上方，NP⊥x軸，交AB于點(diǎn)M，可知點(diǎn)M（在直線AB上）、N（在拋物線上）的橫坐標(biāo)相等，由此根據(jù)兩函數(shù)解析式分別設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再求出PN,PM，根據(jù)MN=PN﹣PM，建立MN關(guān)于x的二次函數(shù)，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求出結(jié)論�；騇N=Ny﹣My，建立函數(shù)也可。注意：MN＞0.
（3）由已知BM與NC相互垂直平分，可證得四邊形BCMN是菱形，根據(jù)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)可得出菱形的邊長(zhǎng)MN=，且CP2+PM2=CM2。建立方程求解即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；或根據(jù)MN=建立方程求解，再根據(jù)t的取值去判斷NC與BM是否垂直，從而得出N點(diǎn)坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用因式分解法和二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調(diào)整系數(shù)等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數(shù)，間接配方顯優(yōu)勢(shì)；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．