Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，過點A作AC交⊙O于D，且AD=CD，連接BC，過D點作⊙O的切線交BC于E．
（1）求證：DE⊥BC；
（2）當AB=10，AD=7時，求EC的長．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：（1）根據切線的性質定理以及直徑所對的圓周角相等，即證得∠ADO=∠EDB，即可證得∠A=∠EDB，∠ABD=∠CBD，利用三角形的內角和定理證得∠DEB=∠ADB=90°，從而證得；
（2）證明△ABD∽△DBE，根據相似三角形的對應邊的比相等求得BE的長，則EC即可證得．

解答：解：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
又∵AD=CD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD，
∵DE是圓的切線，
∴OD⊥DE，即∠ODE=90°，
∴∠ADO=∠EDB，
又∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠A=∠EDB，
又∵∠ABD=∠CBD，
∴∠DEB=∠ADB=90°，
∴DE⊥BC；
（2）在直角△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

102-72

=

51

，
∵∠A=∠EDB，∠ABD=∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴

BE

BD

=

BD

AB

，即

BE

51

=

51

10

，
解得：BE=

51

10

，
則EC=BC-BE=10-

51

10

=

49

10

．

點評：本題考查了切線的性質定理以及圓周角定理，和相似三角形的判定與性質，正確證明∠ABD=∠CBD是關鍵．