Question

已知：如圖，四邊形ABCD是關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱的四邊形，其中點A（1，3），B（3，1），反比例函數(shù)=

k

x

經(jīng)過點A．
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)直線y=ax+b經(jīng)過C、D兩點，在原有坐標(biāo)系中畫出并利用函數(shù)的圖象，直接寫出不等式

k

x

＜ax+b的解集為：

x＜-3或-1＜x＜0

．

Answer 1

分析：（1）把點A坐標(biāo)代入y=

k

x

可求出k，從而得到反比例函數(shù)解析式；
（2）利用中心對稱得性質(zhì)確定C點坐標(biāo)為（-1，-3），D點坐標(biāo)為（-3，-1），則可判斷C（-1，-3）、D（-3，-1）都在反比例函數(shù)y=

3

x

得圖象上，然后觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＜-3或-1＜x＜0時，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方，由此可得到不等式

k

x

＜ax+b的解集．

解答：解：（1）把A（1，3）代入y=

k

x

得k=1×3=3，
故反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

；

（2）∵四邊形ABCD是關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱的四邊形，
∴C點坐標(biāo)為（-1，-3），D點坐標(biāo)為（-3，-1），
∵-1×（-3）=3，-3×（-1）=3，
∴C（-1，-3）、D（-3，-1）都在反比例函數(shù)y=

3

x

得圖象上，
∴C（-1，-3）、D（-3，-1）為直線y=ax+b與雙曲線y=

3

x

的交點，
∴當(dāng)x＜-3或-1＜x＜0時，

k

x

＜ax+b．
故答案為x＜-3或-1＜x＜0．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式，即求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了觀察函數(shù)圖象的能力．