Question

如圖，一條螺旋線按以下方式生成：△O₁O₂O₃為等邊三角形，邊長(zhǎng)為1，曲線O₃A₁，A₁A₂，A₂A₃分別以O(shè)₁，O₂，O₃為圓心，O₁O₃，O₂A₁，O₃A₂為半徑的圓弧，曲線O₃A₁A₂A₃稱(chēng)為螺旋線O₁旋轉(zhuǎn)一圈，以后又以O(shè)₁為圓心，O₁O₃為半徑畫(huà)圓弧，交O₂O₁得延長(zhǎng)線于A₄，…，等等，假設(shè)此螺旋線共繞O₁旋轉(zhuǎn)2圈，則此螺旋線的長(zhǎng)度與圓周率π的比值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算,等邊三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：當(dāng)繞O₁旋轉(zhuǎn)第一圈時(shí)，即為螺旋線O₃A₁A₂A₃的長(zhǎng)度和，所以

2

3

π+2×

2

3

π+3×

2

3

π=4π，當(dāng)繞O₁旋轉(zhuǎn)第二圈時(shí)，螺旋線的長(zhǎng)度為4×

2

3

π+5×

2

3

π+6×

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3

π=10π，螺旋線的總長(zhǎng)度14π，再除以圓周率π即可．

解答：解：螺旋線O₃A₁A₂A₃的長(zhǎng)度為

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π+2×

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π+3×

2

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π=4π，
當(dāng)繞O₁旋轉(zhuǎn)第二圈時(shí)，螺旋線為4×

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3

π+5×

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π+6×

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3

π=10π，
則螺旋線的總長(zhǎng)度14π，
∴此螺旋線的長(zhǎng)度與圓周率π的比值為14π：π=14．
故答案為14．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是歸納總結(jié)得到各段弧長(zhǎng)，此題鍛煉了學(xué)生會(huì)經(jīng)過(guò)觀察歸納總結(jié)得出結(jié)論的能力．