Question

【題目】如圖，已知拋物線y1=ax+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（2,1），且經(jīng)過點(diǎn)B，拋物線對稱軸左側(cè)與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線解析式y1和直線BC的解析式y2；

（2）連接AB、AC，求△ABC的面積.

（3）根據(jù)圖象直接寫出y1＜y2時(shí)自變量的取值范圍.

（4）若點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，且QA⊥MA，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y1=x2+4x3，；（2）；（3）x<0或x>；（4）Q（4，-3）.

【解析】

（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y1=a（x-2）2+1，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求出a的值，即可求出拋物線解析式；令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再設(shè)直線BC的解析式y2=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）令y=0，利用拋物線解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)直線BC與x軸的交點(diǎn)為D，利用直線BC的解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD，列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)圖形，找出直線BC在拋物線上方部分的x的取值范圍即可；

（4）連接MD，AM，過點(diǎn)A作AQ⊥AM，易得∠MAD=45°，即∠QAD=45°，從而得出Q點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入拋物線解析式求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

(1)∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，

∴y1=a(x2)2+1，

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，

∴，

解得a=1，

∴y1=(x2)2+1=x2+4x3，

當(dāng)x=0，y=3，

∴C(0,3)，

設(shè)直線BC解析式為y2=kx+b(k≠0)，

則有，

解得

所以,直線BC的解析式為；

(2)對于y1=x2+4x3,當(dāng)y=0時(shí),x2+4x3=0，

即x24x+3=0，

解得x1=1,x2=3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，

設(shè)直線BC與x軸相交于D，

對于,當(dāng)y=0時(shí), ，

解得x=2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0)，

∴AD=21=1，

則S△ABC=S△ABD+S△ACD，

=

=

=.

(3)由圖得,當(dāng)x<0或x>時(shí),y1<y2.

（4）連接MD，AM，過點(diǎn)A作AQ⊥AM.

∵M（2,1），D（2,0）

∴MD ⊥ x軸

∵A（1,0）

∴AD=MD，即△ADM為等腰直角三角形，

∴∠MAD=45°，即∠QAD=45°，

∴設(shè)Q（m，1-m）

則,解得m1=1（舍去），m2=4，

∴Q（4，-3）.